Наука в 20-ом веке: Математика

Краткий конспект лекций 12 — 13 курса Стивена Голдмана Наука в 20-ом веке: Социально-интеллектуальный обзор.

В 20-ом веке наука становится все более математизированной. Это придает науке эзотеричность, поскольку знание математики становится необходимой предпосылкой для понимания научных теорий. В этом отношении можно выделать несколько вопросов:

  • Математика как язык науки.
  • Как соотносится математика с реальностью. В чем состоит работа математика. Математик изобретает математические объекты, или математик открывает математические объекты.
  • Математика как язык правильного мышления.

Следует отметить, что развитие математики в двадцатом веке поменяло значение рациональности. Понятия рациональности в начале и конце двадцатого века не совпадают между собой.

Открытие неевклидовых геометрий в 19-ом веке было интеллектуальным шоком. После этого было уже невозможно утверждать, что дедуктивное построение однозначно связано с истиной. Математика не может например ответить на вопрос о связи между геометрией и миром. Дедуктивные теории сами по себе, мир сам по себе.

Три направления, которые пытались объяснить, на чем основана математическая истина.

  • Логицизм. Фреге, Рассел, Уайтхед. Математику можно свести к логике.
  • Формализм. Гильберт. Математика как логические игры. Математики строят формализм, соотношение которого с природой математиков не интересует.
  • Интуиционизм. Брауэр. Математика — это пример внесения разумом порядка в восприятия. Необходимая связь между математикой и реальностью отсутствует. Закон исключения третьего является эмпирическом законом и поэтому он должен быть исключен из математики.

Фреге хотел свести арифметику к логике. Рассел указал на противоречие в построениях Фреге. Рассел и Уайтхед далее хотели свести всю математику к логике. Эта попытка также не удалась.

Проблемы Гильберта 1900 года. Среди них была задача показать, что математическое построение является согласованным и полным. Также задача о том, что существует эффективная процедура для решения любой проблемы в рамках заданного формализма. Гёдель доказал, что обе задачи невозможно решить. Тьюринг и машина Тьюринга. Интерпретация математики в духе формализма невозможна.

Если сказать, то программы логицизма и формализма провалились, то остается только интуиционизм. Последний однако не поддерживают большинство математиков.

Нерешенность описанных проблем ничуть не помешала развитию математики в двадцатом веке. Ниже перечислены несколько новых активно развивающихся областей математики.

Математическое моделирование. Комьютерное моделирование является в настоящий момент неотъемлимой частью науки и инженерии.

Компьютерное доказательство теорем (теорема о четырех красках). Несмотря на неоднозначность, математическое сообщество похоже согласилось с такими доказательствами.

Теория игр. Выбор рациональной стратегии.  См. также нобелевские премии по экономике, которые показывают, что люди в в своем поведении не следует правилам теории игр. Как назвать такое поведение человека, рациональным или иррациональным?

Фракталы. Мандельброт.

Теория хаоса, теория сложности.

Теория графов. Случайные графы. Пал Эрдёш, Альфред Реньи. Отношения определяют граф.

См. также

Наука в 20-ом веке: Введение
Наука в 20-ом веке: Материя и энергия
Наука в 20-ом веке: Вселенная
Наука в 20-ом веке: Земля

Two Mathematicians in a Bunker and Pi

Обсуждение

https://www.facebook.com/evgenii.rudnyi/posts/735049086629513


Comments are closed.