Излучение черного тела и производство энтропии

Ранее: Низкоэнтропийная энергия Солнца и жизнь

В предыдущей заметке был проведен расчет потоков энтропии в модельной задаче поглощения теплового излучения Солнца пластиной на орбите Земли. В этой заметке рассмотрены вопросы теории излучения черного тела с точки зрения производства энтропии.

Рассмотрение ограничено электромагнитным излучением абсолютно черного тела, то есть, считается, что интенсивность излучения в зависимости от частоты всегда описывается распределением Планка. Это позволяет ввести температуру излучения, которая равна температуре черного тела, находящегося в равновесии с излучением. Это в свою очередь приводит к простому выражению для энтропии излучения.

• Обратимые и необратимые процессы
• План анализа модельной задачи из предыдущей заметки
• Производство энтропии при испускании теплового излучения
• Производство энтропии при поглощении теплового излучения
• Заключение

Обратимые и необратимые процессы

Электромагнитное излучение черного тела содержит энергию, которая в ходе процесса может быть передана в виде работы или теплоты. В теории вводятся обратимые процессы, в которых производство энтропии отсутствует и которые позволяют оценить максимально возможное количество получаемой работы. Реальные процессы всегда являются необратимыми и в них совершаемая работа меньше максимально возможной.

Производство энтропии характеризует разницу между максимально возможной работой в обратимом процессе и полученной работой в реальном процессе. Таким образом, производство энтропии является полезной характеристикой, которую можно использовать при разработке инженерных конструкций для оптимизации и тем самым достижения максимума возможной эффективности устройств. См. более подробное обсуждение этого вопроса в разделе ‘Физический смысл производства энтропии‘ в заметке ‘Производство энтропии в живой клетке‘.

Процесс передачи теплоты от горячего к холодному телу посредством излучения является самопроизвольным и в нем не совершается работа; в этом случае производство энтропии максимально. Хороший анализ производства энтропии в таком процессе проведен в статье Райнера Файстеля ‘Поток энтропии и производство энтропии при стационарном излучении абсолютно черного тела‘. В ней рассмотрены необратимые процессы переноса энергии тепловым излучением между двумя параллельными пластинами с заданными температурами. В этой заметке изложение проведено аналогичными образом, но для геометрии модельной задачи из предыдущей заметки.

Энтропия излучения не меняется при прохождении излучения в пространстве, поскольку фотоны не взаимодействуют друг с другом. Производство энтропии возникает только в ходе испускания и поглощения излучения, то есть, при взаимодействии с веществом. Фотоны поглощаются и испускаются веществом, и это приводит к изменению характеристик излучения, если температура излучения отличается от температуры вещества. Тем не менее, производство энтропии на границе тел в таком процессе относится к тепловому излучению. Это хорошо видно при анализе, проведенном в статье Файстеля.

План анализа модельной задачи из предыдущей заметки

В предыдущей заметке был проведен формальный расчет потоков энтропии падающего и испускаемого излучения с участием пластины. Интересно отметить, что в статье Файстеля показано, что использованное выражение для потока энтропии излучения является единственным, которое совместимо со вторым законом. В этой заметке проведен расчет производства энтропии для каждого из протекающих процессов: испускание излучения с Солнца, поглощение излучения пластиной и испускание излучения пластиной. В ходе анализа также проведено сравнение протекающих самопроизвольных процессов с обратимыми процессами.

Формально концептуальная модель из предыдущей заметки связана с бесконечным пространством, поскольку предполагается, что излучение не возвращается обратно. Таким образом считается, что возрастание энтропии связано только с тремя необратимыми процессами, перечисленными выше. Необходимо отметить, что в модельной задаче пренебрегается излучением с пластины, которое попадает обратно на Солнце. Считается, что эта величина пренебрежимо мало по сравнению с плотностью излучения на Солнце и поэтому ей можно пренебречь.

С точки зрения производства энтропии испускание теплового излучения из Солнца аналогично испусканию теплового излучения из пластины. В результате эти процессы рассматриваются в одном разделе. Поглощение теплового излучения пластиной является также подготовкой к последующему рассмотрению фотосинтеза. Рассмотрение проведено способом, аналогичным использованному в статье Файстеля. Расчет производства энтропии проведен из условия баланса по энтропии на глобальном уровне рассмотрения задачи.

Отмечу, что в принципе возможно рассмотрение на локальном уровне. Это сделано в статье Болина Ляо ‘Где и как генерируется энтропия в системах преобразования солнечной энергии?‘. В ней обыгрывается обстоятельство, что распределение фотонов на границе вещества является неравновесным. Имеется в виду, что распределение Планка связано с температурой излучения: испускаемое излучение имеет температуру вещества, но входящее излучение имеет другую температуру. В статье Болина Ляо проведено вычисление производства энтропии при использовании выражений для энтропии и температуры монохроматического излучения, но при этом выкладки существенно более сложны.

Производство энтропии при испускании теплового излучения

При испускании излучения с поверхности тела с температурой T выходят поток теплоты q и поток энтропии s. Для такого необратимого процесса должно выполняться неравенство Клаузиуса:

s > q/T

Выражение для потока энтропии при испускании излучения с поверхности черного тела использовано в предыдущей заметке:

s = (4/3) σT³

Поток теплоты в данном случае задается уравнением Стефана-Больцмана

q = σT⁴

Видно, что неравенство Клаузиуса выполняется. Более того, рассмотрение обратимого изотермического процесса расширения электромагнитного излучения черного тела позволяет понять возникновение множителя (4/3). Такой процесс разбирается, например, в учебнике технической термодинамики Адриана Бежана.

Давление излучения черного тела является функцией только температуры, поэтому в изотермическом процессе давление остается постоянным. Происходит изменение внутренней энергии, сообщается теплота и совершается работа. Ниже приведено соотношение совершенной работы и полученной теплоты к изменению внутренней энергии излучения в процессе обратимого изотермического процесса расширения электромагнитного излучения:

Q = (4/3) ΔU, W = (1/3) ΔU

Изменение энтропии в таком обратимом процессе равно ΔS = Q/T, то есть, вместо неравенства стоит равенство. При переходе к необратимому процессу испускания излучения с поверхности тела при температуре T работа не совершается, а переданная теплота из тела становится равной изменению энергии излучения (Q = ΔU). Выражение для работы становится равной потерянной работе, а согласно теореме Гуи-Стодола потерянная работа связана с производством энтропии W_loss = TS_gen. Таким образом использование производства энтропии превращает неравенство Клаузиуса в равенство:

s = (4/3) σT³ = q/T + s_gen = σT³ + (1/3)σT³

Таким образом, производство энтропии в этом случае связано с потерянной работой:

s_gen = (1/3) σT³

Согласно этому уравнению вследствие более высокой температуры Солнца производство энтропии при испускании излучения с Солнца гораздо больше, чем производство энтропии при испускании излучения с пластины. Меньшее значение, полученное в предыдущей заметке [0.31 vs. 5.48 Вт/(К м^2)], связано исключительно с угловым коэффициентом F, который принимает во внимание, что телесный угол, соответствующий единице площади, уменьшается по мере удаления от Солнца.

С точки зрения оптимизации при разработке инженерных устройств поменять что-либо при испускании излучения нельзя и можно только смириться с потерей возможности совершения полезной работы. Более того, все излучение, уходящее с пластины, является потерянной возможностью с точки зрения инженерной конструкции, связанной с пластиной. Однако с точки зрения всей системы (Солнце + пластина + излучение) ушедшее излучение с пластины теоретически можно использовать в дальнейшем для совершения работы при столкновении с телами, имеющими меньшую температуру.

Производство энтропии при поглощении теплового излучения

Поглощение солнечного излучения пластиной является основной операцией, которую можно использовать для получения работы, поскольку входящее излучение имеет температуру Солнца (T_s), которая значительно больше температуры пластины (T).

В теории черного тела рассматривается обратимый адиабатический процесс расширения электромагнитного излучения от температуры T_s до T. В этом случае производится максимальная работа расширения и рассмотрение этого процесса приводит к максимальному коэффициенту полезного действия (к.п.д.) преобразования солнечной энергии в работу. Я приведу конечное выражение из учебника Бежана:

$$\eta =1-\frac{4}{3}\frac{T}{T_s}+\frac{1}{3}\frac{T^4}{T_s^4}$$

Это уравнение несколько отличается от к.п.д. идеального двигателя Карно, поскольку часть работы была потеряна при излучении от поверхности Солнца. В учебнике Бежана проводится анализ и сравнение этого выражения с к.п.д. идеального двигателя Карно, а также еще с одним выражением в инженерной термодинамике, и разбираются отличия между ними.

При поглощении энергии излучения пластиной работа не совершается. Производство энтропии в этом процессе связано также с потерянной работой, но в данном случае нельзя применить теорему Гуи-Стодола непосредственно, поскольку температура не остается постоянной. Поэтому проведем расчет производства энтропии из требования достижения баланса в неравенстве Клаузиуса.

В данном случае поток теплоты q_s и поток энтропии s_s от Солнца поглощаются пластиной и поэтому в неравенстве Клаузиуса необходимо использовать отрицательные значения:

‐s_s > ‐q_s/T

Производство энтропии делает это неравенство равенством:

‐s_s = ‐q_s/T + s_gen

Отсюда следует выражение для производство энтропии в случае поглощения теплового излучения пластиной, которое удобно представить в таком виде:

s_gen = q_s[1/T ‐ (4/3)(1/T_s)]

Формально это является разностью между потоком энтропии, входящим в пластину и потоком энтропии, получаемым от Солнца. Это производство энтропии уже может быть использовано при рассмотрении инженерных разработок превращения солнечной энергии, и оно также является подготовкой к рассмотрению фотосинтеза в будущих заметках.

Заключение

Рассмотрим данные расчета потоков энтропии в предыдущей заметке с точки зрения производства энтропии. Солнечное излучение несет поток энтропии 0.31Вт/(К м^2), при этом производство энтропии при поглощении энергии Солнца пластиной составляет 3.81 Вт/(К м^2). Суммарное количество энтропии выводится при испускании излучения пластиной, когда дополнительно в этом процессе появляется производство энтропии, равное 1.36 Вт/(К м^2):

5.48 = 0.31 + 3.81 + 1.36

Это показывает одну из проблем при введении в рассмотрение низкоэнтропийных фотонов в научно-популярной литературе. Такое обсуждение забывает производство энтропии в ходе взаимодействия излучения с веществом. Включение производства энтропии приводит к балансу по энтропии с участием излучения, причем этот баланс достигается без участия живой природы и тем самым не может сильно помочь рассмотрению процессов с участием живой природы. Естественно, фотосинтез позволяет превратить часть солнечной энергии в химическую энергию, которая затем используется в метаболизме организмов. Этот процесс будет рассмотрен в последующих заметках.

В то же время нельзя рассматривать производство энтропии как нечто дополнительное к протекающим процессам. Расчет производства энтропии показывает потерянную работу в ходе протекания необратимых процессов, но этот расчет ничего не добавляет к протеканию самих процессов. Например, энергия солнечного излучения поглощается пластиной в виде теплоты и это составляет суть физического процесса. Введение производства энтропии ничего не меняет в этом процессе, оно является сравнением этого процесса с возможным протеканием обратимым процессов, которые на практике все равно недостижимы.

Информация

Rainer Feistel, Entropy flux and entropy production of stationary black-body radiation. J. Non-Equilib. Thermodyn. 36 (2011), 131–139.

Bolin Liao, Where and how is entropy generated in solar energy conversion systems? arXiv preprint arXiv:1802.07404 (2018).

A. Bejan, Advanced Engineering Thermodynamics, 2016, 9.1 Thermodynamic properties of thermal radiation, 9.4 The ideal conversion of enclosed blackbody radiation.

Обсуждение

https://evgeniirudnyi.livejournal.com/440143.html