Снижение размерности системы путем разложения по собственным формам колебаний

Мои ответы при обсуждении динамических задач в структурной механике.

https://groups.google.com/d/topic/matrixprogramming_ru/dUZDRMxShOw/discussion

> [K]*u + [C]*du*dt + [M]*d^2u/d^2t = R    (2)

> ([K]-w^2*[M])z=0              (5)

1 февраля

Вначале следует более четко определить цель, поскольку задачи (2) и (5) разные. Что вы хотите: найти собственные значения или аппроксимировать динамическое поведение?

Несколько коментариев по поводу (2). Задача (5) у механиков в отношении (2) можно представить в виде следующего примитивного алгоритма.

1) Найти собственные значения.
2) Взять несколько наименьших собственных векторов.
3) Спроецировать исходную систему (2) на эти собственные вектора.

Данный алгоритм не работает в общем случае и математики в целом им не интересуются. Если говорить про передаточную функцию, то она зависит от матриц входа и выхода, которые полностью игнорируются в (5). Соотвественно математики нашли, что при проецировании лучше всего использовать собственные значения Ханкеля, которые уже связаны с матрицами входа и выхода и которые дают наилучшую аппроксимацию передаточной фукнции. Можно также использовать векторы Арнольди, решение с ними уже будет лучше, чем с собственными векторами, однако похуже, чем с собственными значениями Ханкеля.

Интересный вопрос, который можно рассмотреть, почему же примитивный алгоритм выше вообще работает в механике. Еще раз подчеркну, что этот алгоритм не работает в общем случае (в общем случае ошибка аппроксимации будет слишком большой).

Я понимаю, что это утверждение не очевидно для механиков, которые считают алгоритм выше единственно возможных. Однако, чтобы убедиться в этом надо просто рассмотреть систему второго порядка не из механики. Возьмите акустику, электромагнетику или хотя бы даже пьецоэлектрик + структура. Подумайте над этим. Это важно понять, поскольку в механике идея о важности и исключительности собственных значений впитана с молоком матери и отношение к ней среди механиков крайне некритичное.

20 февраля

«Цель — выполнить динамический анализ конструкции, а точнее, модальный анализ, в котором находятся частоты и формы колебаний.»

Видите, вначале надо определить цель динамического анализа. Если сказать, что цель динамического анализа — это модальный анализ, то предмета для обсуждения не останется. Если же сказать, что модальный анализ используется для решения динамического анализа, который к модальному анализму не сводится, то тогда возможно варианты.

Для размышления я бы предложил вам взглянуть на диссертацию (доступно в Интернет)

R. S. Puri.
Krylov Subspace Based Direct Projection Techniques for Low Frequency,
Fully Coupled, Structural Acoustic Analysis and Optimization.
PhD Thesis, 2008, Oxford Brookes University.

где также рассматривается система второго порядка

M dx2/dt2 + E dx/dt + K x = Bu

однако для случая FSI на уровне акустики. Там в литобзоре много ссылок на попытки использования модального анализа. Результаты однако не впечатляют.

«Что еще за общий случай?»

Давайте рассмотрим систему второго порядка выше с матрицами, которые сгенерированы генератором случайных чисел. В этом случае также можно себе представить динамическую задачу. Попробуйте применить модальный анализ в этом случае.


Comments are closed.