Ранее: Мысли о математике
В. Я. Перминов в статье ‘Реальность математики‘ хочет избежать дилеммы между двумя крайностями — конвенционализмом и платонизмом в математике. Он связывает математические инварианты с деятельностью человека и тем самым выделяет арифметику и евклидову геометрию как базовые структуры математики. Мне понравилось рассмотрение математики со стороны деятельности, но я не согласен с выводами. Ниже вначале приведены несколько цитат из статьи, а затем идет мое обсуждение.
Характеристики двух крайних позиций в статье Перминова:
‘Многие современные философы склонны думать, что математические объекты – лишь мысленные конструкции и, в отличие от объектов физических, не связаны каким-либо обязательным отношением к реальности. Считается, что, обладая логической определенностью, они не имеют отношения к отражению свойств и отношений реального мира. … Это точка зрения конвенционализма и конструктивизма.’
‘Однако уже со времен пифагорейцев и Платона существует другое, прямо противоположное воззрение на природу математических объектов. Математические объекты, по крайней мере, такие как числа и фигуры понимаются не как конструкции разума, а как отражение глубинных форм окружающего нас мира. … Это точка зрения платонизма или математического реализма.’
Далее Перминов говорит, что современная математика утратила связь с реальностью:
‘Можем ли мы говорить о реальности новой математики в том же смысле, в котором Платон и Лейбниц говорили о реальности арифметики и евклидовой геометрии? Очевидно, что для утвердительного ответа на эти вопросы нет оснований. Новые математические теории не строятся на интуитивно ясных принципах и по условиям своего зарождения они не могут претендовать на описание мира в каком-либо смысле. … Новые математические теории строились преимущественно из логических соображений. … Ясно, что такое чисто логическое расширение математического знания не содержит в себе никакой гарантии его реальности.’
Следующий шаг — практика как критерий реальности:
‘Мы должны признать, что практика является не только основой универсальных норм, но и основным индикатором реальности. Реально то, что выделено деятельностью и возведено на уровень интерсубъективности. Предметная структура мира реальна, ибо она выделена коллективной деятельностью. Предметные подразделения обладают высшей реальностью, ибо подтверждены всей совокупностью человеческой практики. Никакого другого критерия реальности у нас нет.’
Отсюда по Перминому следует реальность арифметики и евклидовой геометрии:
‘Эти соображения подводят нас к пониманию реальности арифметики. Априорность арифметики не означает, что понятие числа имеет свои истоки в разуме. Для того чтобы в мире был счет, мир должен быть в какой-то мере дискретным сам по себе, безотносительно к деятельности счета. … Арифметика реальна, ибо отражает в себе аспект дискретности мира, существенный для деятельности.’
‘Мы должны понять праксеологическую природу геометрических идеализаций, а именно тот факт, что исходные представления евклидовой геометрии порождаются не опытом и не физическими представлениями о движении, а универсальной деятельностной онтологией мышления. … Евклидова геометрия является исключительной геометрией, она является онтологически означенной или онтологически истинной.’
Приведу еще одну цитату из заключения статьи:
‘Приведенные здесь соображения показывают возможность некоторого концептуального продвижения в понимании математического реализма. Мы приходим к осознанию того факта, что логика, арифметика и евклидова геометрия – не простые непротиворечивые математические структуры, а структуры, имеющие онтологический фундамент. Это структуры, необходимые для всякого мышления, структуры априорные и одновременно фундаментально реальные.’
Перминов — профессиональный философ и в статье он опирается на такие термины как реальность, сознание, мышление, чувственное восприятие, интерсубъективность, онтология и др. Видно, что он защищает определенную философскую позицию и что его аргументы идут в ходе сложившегося противопоставления разных философских позиций. Я бы сказал, что речь в статье идет о вечных вопросах: что такое человек, что такое реальность и как можно отличить представления человека о реальности от самой реальности.
Я признаю важность философских размышлений по этому поводу, но, по-моему, все упирается в разные представления, связанные с метафизикой — что действительно существует. При обсуждении математики с точки зрения деятельности вполне достаточно ограничиться минимальной философской позицией, в который вечные вопросы останутся замороженными. Поэтому я возьму главную идею из статьи Перминова — связь с практикой, но в последующем рассмотрения останусь на уровне повседневной / обыденной жизни и буду использовать значения слов человек и реальность на уровне здравого смысла; для рассмотрения деятельности человека такого уровня должно быть вполне достаточно.
Рассмотрим в качестве примера строительство моста. В данном случае противопоставление крайних позиций, озвученных Перминовым, теряется. Мост одновременно является конструкцией, содержит элементы конвенциональности и в то же время является реальным. Требования к надежности моста объединяет вместе конструкционизм, конвенционализм и реализм. Мост должен быть надежным и выдерживать ожидаемую нагрузку, но в то же время мост должен соответствовать требованиям архитектуры.
Теперь рассмотрим план моста и планирование процесса строительства. План моста в определенном смысле реален, но его реальность отличается от реальности построенного моста. Нельзя исключить, что построенный по существующему плану мост не выдержит ожидаемую нагрузку и развалится. Тем не менее, на уровне здравого смысла такое отличие в реальности между планом моста и самим мостом вполне понятно и не требует особых разъяснений. Деятельность требует планирования, планирование реально, но не каждый план приводит к успеху.
План моста связан с идеализацией / абстрагированием. В этой заметке я перепрыгну через идеализацию, связанною с физикой (вопрос прочности моста) и перейду сразу же к математике. Например, в случае планирования возведения моста в том числе встает вопрос о количестве необходимых материалов для строительства моста; таким образом возникает практическая необходимость в счете и геометрии. В этом смысле идея Перминова понятна — арифметика и геометрия возникают как результат подобных практических вопросов. Тем не менее, между арифметикой, геометрией и практической деятельностью есть достаточно большой разрыв, связанный с введением бесконечности.
При построение геометрии и арифметики интуиция человека на основе практической деятельности не дает однозначного разрешения вопросов в отношении бесконечности. В качестве примера рассмотрим аксиому параллельности в форме следующего вопроса. Сколько прямых можно провести в плоскости через данную точку, которые не пересекут данную прямую? В евклидовой геометрии, реальность которой отстаивает Перминов, говорится о единственной прямой в этом случае.
Не думаю, что можно связать этот вывод с практической деятельностью, поскольку человек не сталкивается на практике с бесконечными прямыми. Можно попытаться вообразить бесконечные прямые, но воображения как такового недостаточно для их однозначной характеристики. В данном случае ответ ‘только одна такая прямая’ по всей видимости является самым простым, но не более того. Например, представим себе, что геометрия осталась бы без аксиоматизации до времени активной работы над картографией Земли. В этом случае непонятно, какова была бы интуиция прямой у картографов и как бы они ответили на поставленный вопрос.
Похожие проблемы возникают в арифметике. Например, при рассмотрении натурального ряда есть вопрос о сравнении числа квадратов чисел с числом всех натуральных чисел. Квадраты чисел составляют подмножество всех натуральных числе и поэтому их должно было бы быть меньше. С другой стороны, у каждого натурального числа есть свой квадрат. Таким образом переход к бесконечности требует принятия решений за границами обычной интуиции.
Другой переход к бесконечности связан с введением иррациональных чисел. На первый взгляд они появляются в результате практических операций с квадратом — измерение диагонали квадрата показывает, что она несоизмерима со стороной квадрата. На самом деле идеальный квадрат уже является идеализацией, а вопрос о существовании идеального квадрата заводит в дебри метафизики. На практике иррациональные числа невозможно получить в силу ограниченной точности измерений. Таким образом, подход со стороны деятельности в лучшем случае приводит к представлению длины в виде интервала из двух рациональных чисел.
В то же время происходящее понятно с точки зрения деятельности и здравого смысла. Люди обладают способностью к идеализации, а далее ищутся логические / математические соотношения между идеализированными объектами. В этом отношении проблемы бесконечности рассматриваются на уровне логики, а не на уровне интуиции.
Перминов, по всей видимости, связывает конвенционализм и конструктивизм с полным разрывом между математическими построениями и миром и поэтому он обращается к арифметике и евклидовой геометрии для устранения этого разрыва. В моей позиции математика рассматривается как инструмент для работы с идеализациями, возникающими при решении практических задач. Я не вижу проблемы в том, что по ходу развития математики были найдены разные способы создания необходимого инструментария.
Я не считаю, что в этом случае необходим поиск непосредственных инвариантов между математикой и миром, как это утверждается в выводах статьи Перминова. В рамках деятельности требуется лишь успешное применения разработанных математиками средств на практике. Так, в примере с мостом требуется, чтобы планирование количество материалов для строительства моста оказалось правильным.
По-моему, в статье Перминова смешалось историческое развитие математики, в котором евклидова геометрия и развитие арифметики сыграли особую роль, с использование математических инструментов на практике. Более правильно говорить не о непосредственной связи между математическими структурами и миром, а о использовании математических структур при описании идеализаций, которые использует человек при планировании деятельности.
При рассмотрении математики важно отметить связь интуиции с образованием. Интуиция в связи с аксиомой параллельности в евклидовой геометрии вырабатывается в ходе решения геометрических задач. Я не специалист в области образования, но не вижу причин, почему нельзя представить другой путь математического образования, в котором интуиция, связанная с неевклидовыми геометриями, вырабатывается с самого начала.
В целом, по-моему, лучше говорить не о реальности, а об объективности математики. Математика связанна с использованием доказательств, которые однозначно связывают разные идеализированные объекты друг с другом. Со стороны доказательств объективность математики не вызывает сомнений. В то же время успех практической деятельности возможен при использовании несколько отличающихся друг от друга идеализаций. Это обстоятельство сохраняет разрыв между математикой и миром, но не вижу причин почему следует его бояться. Такой разрыв не мешает успешному использованию математики как инструмента на практике; так, возможны разные конструкции мостов, одинаково надежных в использовании.
Информация
В. Я. Перминов, Реальность математики. Вопросы философии 2 (2012): 24-39.