Метка: математика
-
Психологические основы математики: математическое доказательство, естественный отбор, Кант и Гегель
В статье ‘Психологические основы арифметики‘ группа психологов отстаивает биологические основы математики. Само по себе это не удивительно; перефразируя известное — событием было бы если бы психологи начали защищать математический платонизм. Мое внимание привлекло обещание научной строгости: ‘Наши результаты показывают, что числа и алгебраическая структура возникают из чисто качественных условий и в виде конструкции арифметики дают…
-
Заколдованная математика в расколдованном мире
В новом номере Логоса, посвященном философии математики, мне больше всего понравилась статья Владислава Шапошникова ‘Двуликий Янус: образы математики в зеркале истории‘. Она начинается с прекрасного образа, который характеризует состояние многих обсуждений при рассмотрении статуса математики и которой использован в названии заметки: ‘Макс Вебер говорил в 1918 году, что в мире «… принципиально нет никаких таинственных…
-
Бруно Маршаль: Метафизика вычислений
Вычислительная теория сознания лежит в основе идей сильного искусственного интеллекта и загрузки сознания человека в компьютер. Вычислительная теория сознания также была популярна среди сторонников кибернетической парадигмы, хотя в настоящее время многие нейроученые занимают позицию углеродного шовинизма и поэтому отвергают возможность появления сознания в роботах. В любом случае работы логика Бруно Маршаля показывают неожиданные следствия из…
-
Морис Клайн: Математика. Утрата определенности
Книга математика Мориса Клайна ‘Математика. Утрата определенности‘ дает хорошее представление о доказательстве в математике. Преимуществом книги является рассмотрение отношения к доказательству в контексте истории развития математики. С этой точки зрения книгу можно отнести к интеллектуальной истории и отметить, что она подтверждает известное высказывание Робина Коллингвуда ‘невозможно понять естественные науки без понимания истории’. Дедуктивное доказательство в…
-
Определение понятия в математике и в жизни
Книга известного математика В. А. Успенского ‘Апология математики‘ представляет собой сборник статей, в которых автор хочет показать ‘образованным дилетантам’ место математики: ‘все они [статьи] в той или иной степени относятся (или хотя бы примыкают) к не имеющей чётких границ области знания, которую одни именуют философией математики, другие – основаниями математики, третьи – ещё как-нибудь.’ Книга…
-
2 + 2 = 4?
14.09.23 Аналоговые вычисления ‘Одного студента во время экзамена спросили: — Сколько будет дважды два? — Минуточку, — сказал взволнованный студент. С серьезный видом он вытащил из кармана логарифмическую линейку и, выполнив умножение, очень довольный прочитал экзаменаторам результат: — Около четырех.’ А. Эмпахер, Сила аналогий, 1965. https://evgeniirudnyi.livejournal.com/333973.html 17.07.23 Поэты любят дважды два четыре Математики нередко с…
-
Что такое жизнь и что такое мысль с точки зрения математика
Книга известного математика Михаила Громова ‘Кольцо тайн: вселенная, математика, мысль‘ содержит его идеи о том, как математика может быть использована в биологии. Название заметки взято из предисловия книги. Книга состоит из двух частей. В первой с использованием многих цитат суммируются известные вещи о науке и об эволюции. Следует отметить, что в конце концов Громов приходит…
-
Изменчивая природа математического доказательства
Название книги математика Стивена Кранца ‘Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить‘ хорошо передает ее содержание. Книга прекрасна написана и легко читается. В то же время она дает хорошее представление о том, что такое математическое доказательство в прошлом и настоящем. Высказывания Кранца в начале книги показались мне вызывающими: ‘Доказательство в математике — психологический инструмент, предназначенный…
-
В. А. Лефевр: Космический субъект
Содержание: Термодинамика При поиске статей я случайно наткнулся на упоминание в журнале Психология о термодинамической модели сознания В. А. Лефевра. Дальнейший поиск показал, что это математик и психолог, работавший в СССР и США. Вот его характеристика из одной из статей в журнале Психология: ‘Одним из фундаментальных достижений человекознания на рубеже ХХ–ХХI столетий служит «Рефлексивная психология…
-
История матанализа
Стивен Строгац позиционирует свою книгу ‘Бесконечная сила‘ как матанализ для гуманитариев. Действительно, базовые идеи анализа изложены на пальцах; никогда не мог бы подумать, что такое возможно. Не могу сказать, насколько это окажется эффективным для гуманитариев, но мне это помогло освежить дела давно минувших дней и даже улучшить понимание ряда вещей. По специальности автор книги —…
-
Гёделево утверждение без математики
Джон Финдли (1903–1987) решил объяснить результат первой теоремы Гёделя для людей, которые не хотят вникать в математические доказательства. С точки зрения Финдли можно вполне понять результат Гёделя при использовании самореферентных высказываний вместо арифметизации синтаксиса. Некоторые самореферентные утверждения не вызывают проблем. Например, можно уверенно сказать, что утверждение ‘это предложение содержит более 100 букв’ ложно, а утверждение…
-
Брайан Грин: математика vs. эволюционные идеи
Начало: Абсолютные предпосылки Брайана Грина Брайан Грин: нет свободе воли vs. научный поиск В величественных построениях Грина громадное значение имеют законы физики, выраженные на языке математики. Я уже приводил цитаты по этому поводу, но в качестве введения приведу еще одну: ‘Затем мы анализируем эти законы математически, чтобы определить, возможно ли такое состояние среды в первые…
-
Давид Гильберт: Мы должны знать — мы будем знать!
Карнап при критике Хайдеггера (см. Карнап, Хайдеггер и современная физика) привлек в союзники математика Давида Гильберта: ‘Гильберт в одном докладе сделал следующее замечание, не называя имени Хайдеггера: «В одном недавнем философском докладе я нашел утверждение: «Ничто есть совершеннейшее отрицание всякости сущего». Это предложение является поучительным потому, что оно, несмотря на его краткость, иллюстрирует все важнейшие…
-
Джуда Перл, Дана Маккeнзи. Почему? Новая наука о причинно-следственной связи
Известный математик Джуда Перл и писатель, популяризатор науки Дана Маккeнзи написали книгу «Почему? Новая наука о причинно-следственной связи» . Книга рассказывает о научных идеях Перла, но при этом она хорошо написана и ее вполне можно читать: сочетание авторов оказалось крайне удачным. Книга посвящена статистике. Она должна заинтересовать всех, кто интересуется статистикой и хочет понять, каким…
-
Грегори Хайтин: Теория Дарвина глазами математика
Американский математик Грегори Хайтин отмечает отсутствие строгой математической теории, которая бы выразила сущность теории Дарвина. В книге Доказать Дарвина: Сделать биологию математической Хайтин хочет исправить этот недостаток. Исходная позиция Хайтина заключается в том, что согласно теореме Гёделя математика не может быть механической и как следствие математика с необходимостью является креативной. Хайтин также отмечает креативность биологической…
-
Гипотеза Сепира — Уорфа
При первом знакомстве с лингвистикой у меня возник следующий вопрос. При разговоре о математике от противников существования Платонии (места, где пребывают математические объекты и математические истины) нередко можно услышать, что математики не открывают математические истины, а изобретают их. Действительно, если отвергнуть существование Платонии, то математик никак не может открыть то, что до него не существовало.…
-
Логический позитивизм
В конце краткое описание других заметок, связанных с логическим позитивизмом. Логический позитивизм — влиятельное направление в философии науки в середине двадцатого века. Его можно рассматривать как третью волну позитивизма: первая связана с работами Огюста Конта, вторая с работами Эрнста Маха (Эрнст Мах). Логический позитивизм зародился в рамках Венского кружка в 1922 году и продолжил свое…
-
Как выглядит первый миллион натуральных чисел?
На первый взгляд вопрос выглядит странным. Тем не менее, креативные люди нашли возможность визуализировать первый миллион натуральных чисел и он выглядит вот таким образом: Идея заключается в том, что любое натуральное число можно разложить на простые множители, то есть, представить его в виде произведения простых чисел. Поэтому числу можно сопоставить вектор, где 0 или 1…
-
Неевклидова геометрия Божественной комедии Данте
Современная космология использует для описания топологии Вселенной понятие трехмерной сферы. Необходимые для этого математические конструкции были сформулированы в работах Бернхарда Римана и затем они были использованы Альбертом Эйнштейном при создании общей теории относительности, которая лежит в основе современной космологии. Так вот, как говорят сами физики, мир Данте, представленный в Божественной комедии, является той самой трехмерной сферой.…
-
Происхождение математики путем естественного отбора
В завершение темы Декарта о всемогуществе Бога рассмотрим соотношение между математикой и эволюцей. Если человек и все его интеллекутальные способности произошли в рамках естественного отбора, то происхождение математики принадлежит эволюционной психологии. На этом пути возникают вопросы похожие на те, что мучили Декарта. Будет ли мозг человека считать утверждение 2 + 2 = 4 истинным при…
-
Рене Декарт: 2 + 2 = 4 или всемогущество Бога?
Мог ли всемогущий Бог сделать утверждение 2 + 2 = 4 ложным? Ответ Декарта на этот вопрос был положительным. Декарт считал, что если бы Бог захотел, то он мог бы сделать утверждение 2 + 2 = 5 истинным, а 2 + 2 = 4 ложным. Философы и теологи продолжают спорить о том, была ли у…
-
Математика эволюции или эволюция математики?
Можно увидеть две тенденции, которые по идее должны привести к укреплению позиции натурализма. С одной стороны, продолжаются попытки полностью формализовать теорию естественного отбора. Предполагается, что такой шаг позволит отбросить все сомнения в верности этой теории. С другой стороны, наблюдается стремление связать появление математики с эволюционным процессом происхождения homo sapiens. На этом пути математические способности представляются…
-
Число Пи как теория всего
Физики мечтают о нахождении теории всего. Эта теория будет выражаться уравнением, которое по словам физика Шона Кэрролла, должно поместиться на футболке, и которое позволяет точно описывать абсолютно все процессы, протекающие во Вселенной. Таким образом, теория всего будет одновременно являться полным описанием всей истории Вселенной. С другой стороны, можно представить себе теорию всего в виде «все-в-меню».…
-
Ершов и Целищев: Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании
Просмотрел книгу Ю. Л. Ершов, В. В. Целищев, Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании. Центральной темой книги является вопрос о том, можно ли на основании теоремы Гёделя о неполноте сделать заключение о принципиальной разнице между человеком и роботом. На одной стороне выступают менталисты (да), на другой механицисты (нет). История началась со статьи философа Д. Р.…
-
Математическое моделирование эволюции кооперативного поведения
Уровнем научности часто служит степень математизации дисциплины. На первом месте стоит физика: невозможно себе представить теорию в физике без использования математических уравнений. Химики охотно используют математические уравнения физики для решения своих задач и помимо этого в химии много своих численных моделей разного уровня. Таким образом, с математизацией химии проблем также нет. С математизацией биологии дела…
-
Кантор: Бесконечность и теология
Ниже мои впечатления от книги Амира Ацеля ‘Мистерия Алефа: Математика, Каббала и поиск бесконечности‘ (Amir D. Aczel, The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity). Книга посвящена истории исследований актуальной бесконечности в математике. Главным героем книги является Георг Кантор, который считается отцом актуальной бесконечности в математике, но в книге неплохо рассмотрена…
-
Наука в 20-ом веке
Мне понравились лекции Стивена Голдмана о научных войнах и я решил послушать еще один курс лекций: Наука в 20-ом веке: Социально-интеллектуальный обзор. Ниже краткий конспект первой лекции. Рассматривается эволюция всех наук, как естественных, так и гуманитарных. Эволюция понимается как появление нового посредством разрыва в непрерывном развитии. Рассматривается как развитие интеллектуальных идей, так и отношение между…
-
Математка — разное
05.07.2024 Пустое множество и буддизм Из обсуждения множеств из пустых множеств с Потаповым Вячеславом. При конструировании ординалов фон Нейманом, 0 определяется как пустое множество, а последующий ординал как S(α) = α ∪ {α}. Таким образом, 0 = ∅, 1 = {∅}, 2 = {∅ , { ∅ }}, и т.д. Комментарий Потапова: ‘Я честных полчаса…
-
1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12
Чудное видео, правда по-английски, где доказывается, что 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12 ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12 https://youtu.be/w-I6XTVZXww Самое интересное, что это уравнение используется в теории суперструн. Доказательство по-русски http://habrahabr.ru/post/53883/ Обсуждение видео по-русски http://math.d3.ru/comments/511901 «Из письма Рамануджана Харди от 27…
-
К науке
Что такое научный метод Обсуждение с nil_0 https://evgeniirudnyi.livejournal.com/213468.html?thread=3240156#t3240156 ‘Математика — наука о строгом мышлении. Любое строгое рассуждение является математическим. Физика — наука о простых явлениях природы. Если что-то в физике кажется вам сложным, то это потому, что со времён Ньютона физики последовательно описывали всё более и более нетривиальные явления, с помощью всё более и более…