Определение понятия в математике и в жизни

Книга известного математика В. А. Успенского ‘Апология математики‘ представляет собой сборник статей, в которых автор хочет показать ‘образованным дилетантам’ место математики:

‘все они [статьи] в той или иной степени относятся (или хотя бы примыкают) к не имеющей чётких границ области знания, которую одни именуют философией математики, другие – основаниями математики, третьи – ещё как-нибудь.’

Книга прекрасно написана. Ниже я остановлюсь на том, как математики обходятся с определениями при построении доказательств, поскольку:

‘Отличие математического доказательства от доказательств в других науках состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематические доказательства имеют разные «амбиции». Нематематические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятностью, а предположение, что это утверждение ложно, невероятно. Математические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, а предположение, что это утверждение ложно, невозможно.’

Оказывается, что в математике определения исходных понятий невозможны и поэтому они не приводятся. Пара высказываний Успенского по этому поводу:

‘обнаружим, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое – через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первый портной у кого же учился?» – справедливо замечает г-жа Простакова.)’

‘при дефиниционном способе одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но ведь мы не можем продолжать этот процесс бесконечно. А значит, на каких-то геометрических понятиях мы вынуждены остановиться и далее их не определять. Эти понятия, которые уже не имеют определения, называют неопределяемыми, или исходными.’

При этом в математике невозможно определить исходные понятия путем указания на что-то в реальном мире:

‘Ведь математические объекты, в отличие от объектов физических, не присутствуют в природе, они существуют лишь в умах людей. Поэтому в применении к математическим истинам говорить, что истина – это то, что соответствует реальному положению вещей, можно лишь с большой натяжкой.’

Еще одно интересное высказывание про связь математики с физикой:

‘Нередко утверждают, что математику следует рассматривать как часть физики, поскольку она описывает внешний физический мир. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления, а значит, должны проходить по ведомству психологии.’

Решение находится в использовании аксиом для объединения исходных понятий, оставшихся неопределенными, в единую систему:

‘Тогда поступим так. Попытаемся выписать основные свойства этих понятий, а именно те свойства, на которые будем опираться в наших рассуждениях. Дадим себе обещание не использовать в рассуждениях никаких иных свойств, кроме тех, которые внесены нами в список основных свойств. Каждый отдельный элемент списка, в котором фиксированы какие-то определённые свойства рассматриваемых понятий, будем называть аксиомой, сам же список – системой аксиом.’

Получается что именно система аксиом приводит к появлению значений у математических понятий. Успенский приводит такой пример аксиом:

‘(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.
(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.
(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.
(4) Каждого бокра будлают по меньшей мере две куздры.’

‘Что такое куздры, бокры, будлать, оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для выведения из этих утверждений определённых заключений, т. е. таких, которые непременно являются истинными при условии истинности всех четырёх исходных посылок. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры.’

Связь математики с миром согласно Успенскому осуществляется посредством математических моделей:

‘математика предлагает весьма общие и достаточно чёткие модели для изучения окружающей действительности, в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками; действительность же так усложнилась (как за счёт познания новых её сторон, так и за счёт создания человеком новых её форм), что без упрощающих, огрубляющих, формализующих, охватывающих лишь одну сторону явления моделей ныне не обойтись.’

‘Сказанным обусловлен и специфический характер математических открытий. Естественно-научные открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира. Математические же открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства рассматриваемых моделей мира, а наиболее революционные открытия дают начало новым моделям.’

Предлагается следующая схема использования математики на практике:

‘Замечательно, что, хотя математическая модель создаётся человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения; познавая её свойства, мы тем самым познаём и свойства отражённой моделью реальности.’

Теперь одна история, связанная с понятиями за пределами математики:

‘В конце XIX в. в одной из больших аудиторий Московского университета была объявлена лекция на тему «Есть ли интеллект у животных?». Просветиться собралось несколько десятков, а то и сотен слушателей. Председательствовал заслуженный ординарный профессор математики Московского университета Николай Васильевич Бугаев – президент Московского математического общества (с 1891 по 1903 г.) и отец Андрея Белого. Перед началом доклада он обратился к аудитории с вопросом, знает ли кто-либо, что такое интеллект. Ответ оказался отрицательным. Тогда Бугаев объявил: поскольку никто из присутствующих не знает, что такое интеллект, лекция о том, есть ли он у животных, состояться не может. Это типичный пример косвенного воздействия математического мышления на мышление гуманитарное.’

Тем не менее, осталось непонятно, что предлагает Успенский в этом случае. Вряд ли получится создать аксиоматическую теорию, а затем математическую модель интеллекта. Обычные рассуждения про искусственные нейронные сети по своему характеру ничем не отличаются от того, что говорят биологи про поведение животных. Понятие интеллекта, используемого в обоих случаях, остается непонятным.

Ниже приведена ссылочка на попытки группы euCognition определить, что такое познание в когнитивных системых. Можно отметить, что там отмечается бесперспективность подобных попыток. Предлагается просто изучать познание в когнитивных системах без попыток сказать, что это такое.

Можно, пожалуй, попытаться взять набор связанных понятий (сознание, ум, разум, интеллект, рассудок, мышление, информация, целесообразность, познание и т.д) и попробовать сделать набор утверждений, который включает в себя все эти понятия. Таким образом, может быть удастся добиться лучшего понимания происходящего. С другой стороны, нельзя исключить, что такой список утверждений будет внутренне противоречивым. Также, по всей видимости, не удастся добиться полного согласия между разными исследователями. В любом случае вряд ли можно ожидать помощи со стороны математиков при обсуждении этих вопросов.

Информация

Владимир Андреевич Успенский, Апология математики (сборник статей), 2017 (издание обновленное и дополненное).

Definitions of Cognition & Cognitive Systems, eu Cognition

http://www.vernon.eu/euCognition/definitions.htm

Перевод: https://evan-gcrm.livejournal.com/1601434.html

Обсуждение

https://evgeniirudnyi.livejournal.com/303140.html


Опубликовано

в

от

Метки: