Название книги математика Стивена Кранца ‘Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить‘ хорошо передает ее содержание. Книга прекрасна написана и легко читается. В то же время она дает хорошее представление о том, что такое математическое доказательство в прошлом и настоящем.
Высказывания Кранца в начале книги показались мне вызывающими:
‘Доказательство в математике — психологический инструмент, предназначенный для убеждения некоего лица или аудитории в том, что некоторое математическое утверждение истинно.’
‘Итак, что же такое доказательство? Если подходить эвристически, доказательство — это такой инструмент риторики, который используется, чтобы один человек убедил другого, что некоторое математическое утверждение верно.’
Однако далее стало понятно, что в центре математики по-прежнему лежит традиционное доказательство (определения, аксиомы, теоремы). В этом смысле со времен Евклида мало что поменялось. Просто рассматриваемые проблемы стали сложнее, а доказательства длиннее; также появились новые взгляды, к которым и относятся высказывания выше. Приведу пару цитат из конца книги:
‘Как мы уже говорили в начале книги, доказательство — это психологический инструмент, позволяющий убедить другого человека в истинности чего-либо. Если вместо «другого человека» поставить слова «математика с традиционным образованием», то скорее всего, желательное доказательство — традиционное. Логические аргументы в евклидовом стиле. Если же вместо «другого человека» окажется «специалист по современному численному анализу», то его скорее убедит длинное и очень точное компьютерное вычисление.’
‘Так во что превратится «доказательство» в следующем столетии? Есть все причины верить, что традиционное понятие чисто математического доказательства выживет как таковое. Но появятся еще и компьютерные доказательства, доказательства на основе физических экспериментов и числовых подсчетов.’
В книге много занятных историй про математиков. Приведу две из них. Первую можно озаглавить Математики тоже люди:
‘Сильвестр (1814–1897) получил образование в Англии. Еще в молодости он получил должность профессора в вирджинском университете. Однажды молодой студент, выступление которого в классе Сильвестр раскритиковал, был очень уязвлен видным ученым. Он подготовил засаду и напал на Сильвестра с тяжелой тростью) . У Сильвестра при себе тоже оказалась трость с вкладной шпагой, и он ударил студента в ответ. Ранение было нетяжелым, но профессор счел разумным оставить свою должность и на ближайшем корабле отправился в Англию, где получил место в военной академии.’
Вторую — Теория и практика:
‘Уильям Феллер (1906–1970), работавший в Принстонском университете, был блестящим математиком. Он один из создателей современной теории вероятностей. Однажды Феллер и его жена пытались передвинуть большой круглый стол из гостиной в столовую. Они толкали и тащили, поворачивали и разворачивали, но никак не могли продвинуть стол в дверной проем. Было похоже, что стол застрял намертво. Устав и отчаявшись, Феллер с карандашом и бумагой разработал математическую модель ситуации. Через несколько минут ему удалось доказать, что их попытки обречены на неудачу. Пока Уильям был занят этими махинациями, его жена не оставляла стараний, и ей удалось-таки передвинуть стол в столовую.’
В книге рассматриваются компьютерные доказательства, но при этом главными действующими лицами остаются люди — математики используют компьютер для своих целей. Искусственный интеллект в контексте математических доказательств согласно книге Кранца выглядит не очень:
‘Программы искусственного интеллекта — это попытка научить компьютер решать задачи, с которыми справляется человек. В этом направлении имеется значительный прогресс, но они все еще довольно элементарны. Они даже не начали приближаться к мощи и глубине чего-либо подобного доказательству Уайлса Великой теоремы Ферма.’
Еще несколько высказываний из книги на тему Математики и компьютеры:
‘Математические ошибки исправляются, причем не формальной логикой, а другими математиками.’
‘Следует иметь в виду, что математическое мышление включает овладение понятиями и рассуждениями, в то время как компьютер — просто средство для манипулирования данными, это совершенно разные вещи.’
‘Не следует думать, что построение математических доказательств — процесс механический, это вовсе не так. Математик, как и любой другой ученый, открывает идеи интуитивно. Он просто «видит» или «чувствует», что какое-то утверждение истинно, основываясь на опыте и озарении, развиваемых годами.’
‘В наши дни практически все математики используют компьютеры для работы с электронной почтой, для написания статей и книг и размещения материалов в Интернете. Значительное число (все же заметно меньше половины) математиков используют компьютер для проведения экспериментов. … Но подавляющее большинство (академических) математиков, в конце концов, вооружаются ручкой и записывают доказательство. А потом его публикуют.’
‘Однако следует отметить один из ключевых моментов, о которых мы рассказываем в этой книге: восприятие математической истины — социологический процесс. Он протекает в математическом сообществе. Он включает понимание, приятие, осмысление и обсуждение.’
Сюда также подходит меткое высказывание математика Пола Эрдёша: ‘Математик — это машина по переработке кофе в теоремы.’ Вот, что не хватает ИИ — умения правильно потреблять кофе.
Об отношении между математикой и принципом фальсифицируемости Поппера:
‘Философ Карл Поппер полагал, что ничего нельзя знать с абсолютной уверенностью. Он даже ввел доктрину фальсификационизма. В ее рамках научной может считаться только такая теория, для которой существует методологическая возможность ее опровержения.
Традиционная математика отвергает эту точку зрения. Считается, что математические утверждения, доказанные в соответствии с принятыми канонами математического вывода, неоспоримо верны. И такими останутся. Эта перманентная природа математики — уникальная черта, выделяющая ее из всех интеллектуальных деяний человека.’
В заключение скажу, что в книге также рассматриваются споры математиков о приоритете, ничто человеческое математикам не чуждо. Например, в книге живо описывалась ‘вендетта’ между Эрдёшем и Сельбергом:
‘Дориан Гольдфельд (р. 1947) взял на себя труд поговорить с живыми участниками или свидетелями вендетты между Эрдёшем и Сельбергом. Ясно, что там не было ни правых, ни виноватых. И Эрдёш, и Сельберг сделали свой вклад в это важное открытие, но их эго и стили в значительной мере противоречили друг другу. Ирвинг Каплански (1917–2006) в те дни тоже гостил в Институте перспективных исследователей и своими глазами видел эту вендетту. Он рассказал мне, что в какой-то момент зашел к Эрдёшу и сказал: ≪Пол, ты всегда говорил, что математика — это часть общественного достояния. Никто не владеет теоремами. Они открыты для каждого, кто готов их познавать и развивать. Зачем же ты продолжаешь эту битву с Сельбергом? Почему не оставишь его в покое?≫ И Эрдёш ответил: ≪Да, но это же первоклассная теорема!≫’
Информация
Стивен Кранц, Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить, 2020.
Steven G. Krantz, The Proof is in the Pudding: The Changing Nature of Mathematical Proof, 2011.
В книге Кранца одна глава посвящена статье Джона Хоргана ‘Смерть доказательства‘. См. следующий раздел.
Обсуждение
https://evgeniirudnyi.livejournal.com/296427.html
16.03.2019 Смерть доказательства и поверхность Хоргана
Американский журналист Джон Хорган (автор книги Конец науки) в 1993 году опубликовал в журнале Scientific American (В мире науки) статью под громким названием ‘Смерть доказательства‘. В ответ возмущенные математики саркастически назвали один из математических объектов поверхностью Хоргана. Недавно Хорган в своем блоге описал эти события. Несмотря на то, что математики хотели ему досадить, Хорган гордится, что в его честь назвали один из объектов Платонии.
История началась с того, что начальник Хоргана велел написать ему статью о математике. Хорган вначале отнекивался (математика не относилась к области его увлечений), но приказ есть приказ, и он начал собирать материалы и проводить интервью с математиками. В ходе работы Хорган обнаружил, что ряд математиков говорит об изменении отношения к доказательству и это привело Хоргана к осознанию того, что в основу статьи можно положить именно это обстоятельство. Что он и сделал.
Разговор о смерти доказательства был основан на увеличивающейся сложности доказательств и увеличении использованию компьютеров математиками в своей работе. Помимо этого, финансирующие агентства хотели, чтобы математики занимались приложениями (популярные темы в те времена: криптография и компьютерное зрение). В последнем случае более важным был практический результат, а не доказательство как таковое. Это приводило к обсуждению использовании математиками интуиции, которая в дальнейшем проверялась при использовании компьютерных моделей.
Отмечу, что математик Грегори Хайтин в книге «Доказать Дарвина: Сделать биологию математической» обсуждал изменения требования к доказательству среди математиков и допускал, что в будущем математика измениться до неузнаваемости.
Статья ‘Смерть доказательства‘ вызвала огромный поток писем математиков в редакцию Scientific American. Математики утверждали, что Хорган преувеличил стоящие сложности, погнался за дешевыми сенсациями и что его статья вредит развитию математики.
Математики Дэвид Хоффман (David Hoffman) и Герман Кархер (Hermann Karcher), занимающиеся минимальными поверхностями, нашли одну поверхность, которая вначале вполне подходила на роль минимальной поверхности, но при более внимательном рассмотрении таковой не являлось (статья 1997 года). Они назвали эту поверхность именем Хоргана, чтобы подчеркнуть, что компьютерное моделирование вовсе не исключило необходимость доказательства.
Интересно отметить, что Хоффман и Кархер в своей статье не привели доказательства того, что поверхность Хоргана не является минимальной. Их заключение было основана на более внимательном компьютером моделировании. Строгое доказательство привел математик Маттиас Вебер (Matthias Weber) в 1998 году.
Рассмотрение своей статьи и истории с поверхностью Хоргана привело Джона Хоргана к мысли, что может быть он поторопился со смертью доказательства. В следующей заметке он спросил двух математиков (Скотта Ааронсона и Питера Уойта — Scott Aaronson and Peter Woit) о роли доказательства в современной математики. Оба подтвердили то, что доказательство по-прежнему остается краеугольным камнем математики.
С другой стороны, Маттиас Вебер сказал Хоргану, что было бы хорошо написать новую статью ‘Смерть доказательства: Перезагрузка‘ с рассмотрением вопроса о том, что произошло в математике с доказательствами за прошедшие четверть века. Вполне возможно, что Хорган еще напишет такую статью. В октябре 2019 года пройдет публичное обсуждение на тему ‘Механизация математики‘ и Хорган надеется, что оно даст толчок для написания новой статьи.
John Horgan, The Horgan Surface and the Death of Proof, 2019
John Horgan, Okay, Maybe Proofs Aren’t Dying After All, 2019
https://evgeniirudnyi.livejournal.com/202923.html
05.02.2025 Математическое доказательство: вчера, сегодня, завтра
Спасибо andrew-vdd. Из выступлений двух математиков о доказательстве в 2010 году.
Ю. В. Матиясевич:
‘Уже сегодня компьютеры могут проверять формализованные доказательства нетривиальных теорем.
ПРЕДСКАЗАНИЕ Через 25 лет журналы (если они ещё будут существовать) не будут принимать к рассмотрению статьи, не сопровождаемые доказательствами, которые может проверить компьютер.’
Н. А. Вавилов:
‘В отличие от любых доказательств, математическое знание КАК ТАКОВОЕ обладает ЧРЕЗВЫЧАЙНО высокой степенью надежности. Эта надежность, как и надежность естественно-научного и технического знания, гарантируется отнюдь не доказательствами индивидуальных результатов, а общей когерентностью математической и естественно-научной картины мира, индивидуальным и коллективным пониманием и прямым контактом с миром идей, которое формируется в процессе работы у каждого квалифицированного и понимающего специалиста.
Вот, что знают о доказательстве практикующие математики, но боятся сказать:
– Математическое доказательство, РАССМАТРИВАЕМОЕ КАК ТЕКСТ, не доказывает ничего, кроме факта существования доказательств.
– Ни одно СЕРЬЕЗНОЕ математическое доказательство не может быть полностью формализовано, т.е. записано в соответствии со стандартами, пропагандируемыми математической логикой.’