Название книги математика Стивена Кранца ‘Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить‘ хорошо передает ее содержание. Книга прекрасна написана и легко читается. В то же время она дает хорошее представление о том, что такое математическое доказательство в прошлом и настоящем.
Высказывания Кранца в начале книги показались мне вызывающими:
‘Доказательство в математике — психологический инструмент, предназначенный для убеждения некоего лица или аудитории в том, что некоторое математическое утверждение истинно.’
‘Итак, что же такое доказательство? Если подходить эвристически, доказательство — это такой инструмент риторики, который используется, чтобы один человек убедил другого, что некоторое математическое утверждение верно.’
Однако далее стало понятно, что в центре математики по-прежнему лежит традиционное доказательство (определения, аксиомы, теоремы). В этом смысле со времен Евклида мало что поменялось. Просто рассматриваемые проблемы стали сложнее, а доказательства длиннее; также появились новые взгляды, к которым и относятся высказывания выше. Приведу пару цитат из конца книги:
‘Как мы уже говорили в начале книги, доказательство — это психологический инструмент, позволяющий убедить другого человека в истинности чего-либо. Если вместо «другого человека» поставить слова «математика с традиционным образованием», то скорее всего, желательное доказательство — традиционное. Логические аргументы в евклидовом стиле. Если же вместо «другого человека» окажется «специалист по современному численному анализу», то его скорее убедит длинное и очень точное компьютерное вычисление.’
‘Так во что превратится «доказательство» в следующем столетии? Есть все причины верить, что традиционное понятие чисто математического доказательства выживет как таковое. Но появятся еще и компьютерные доказательства, доказательства на основе физических экспериментов и числовых подсчетов.’
В книге много занятных историй про математиков. Приведу две из них. Первую можно озаглавить Математики тоже люди:
‘Сильвестр (1814–1897) получил образование в Англии. Еще в молодости он получил должность профессора в вирджинском университете. Однажды молодой студент, выступление которого в классе Сильвестр раскритиковал, был очень уязвлен видным ученым. Он подготовил засаду и напал на Сильвестра с тяжелой тростью) . У Сильвестра при себе тоже оказалась трость с вкладной шпагой, и он ударил студента в ответ. Ранение было нетяжелым, но профессор счел разумным оставить свою должность и на ближайшем корабле отправился в Англию, где получил место в военной академии.’
Вторую — Теория и практика:
‘Уильям Феллер (1906–1970), работавший в Принстонском университете, был блестящим математиком. Он один из создателей современной теории вероятностей. Однажды Феллер и его жена пытались передвинуть большой круглый стол из гостиной в столовую. Они толкали и тащили, поворачивали и разворачивали, но никак не могли продвинуть стол в дверной проем. Было похоже, что стол застрял намертво. Устав и отчаявшись, Феллер с карандашом и бумагой разработал математическую модель ситуации. Через несколько минут ему удалось доказать, что их попытки обречены на неудачу. Пока Уильям был занят этими махинациями, его жена не оставляла стараний, и ей удалось-таки передвинуть стол в столовую.’
В книга рассматриваются компьютерные доказательства, но при этом главными действующими лицами остаются люди — математики используют компьютер для своих целей. Искусственный интеллект в контексте математических доказательств согласно книге Кранца выглядит не очень:
‘Программы искусственного интеллекта — это попытка научить компьютер решать задачи, с которыми справляется человек. В этом направлении имеется значительный прогресс, но они все еще довольно элементарны. Они даже не начали приближаться к мощи и глубине чего-либо подобного доказательству Уайлса Великой теоремы Ферма.’
Еще несколько высказываний из книги на тему Математики и компьютеры:
‘Математические ошибки исправляются, причем не формальной логикой, а другими математиками.’
‘Следует иметь в виду, что математическое мышление включает овладение понятиями и рассуждениями, в то время как компьютер — просто средство для манипулирования данными, это совершенно разные вещи.’
‘Не следует думать, что построение математических доказательств — процесс механический, это вовсе не так. Математик, как и любой другой ученый, открывает идеи интуитивно. Он просто «видит» или «чувствует», что какое-то утверждение истинно, основываясь на опыте и озарении, развиваемых годами.’
‘В наши дни практически все математики используют компьютеры для работы с электронной почтой, для написания статей и книг и размещения материалов в Интернете. Значительное число (все же заметно меньше половины) математиков используют компьютер для проведения экспериментов. … Но подавляющее большинство (академических) математиков, в конце концов, вооружаются ручкой и записывают доказательство. А потом его публикуют.’
‘Однако следует отметить один из ключевых моментов, о которых мы рассказываем в этой книге: восприятие математической истины — социологический процесс. Он протекает в математическом сообществе. Он включает понимание, приятие, осмысление и обсуждение.’
Сюда также подходит меткое высказывание математика Пола Эрдёша: ‘Математик — это машина по переработке кофе в теоремы.’ Вот, что не хватает ИИ — умения правильно потреблять кофе.
В заключение об отношении между математикой и принципом фальсифицируемости Поппера:
‘Философ Карл Поппер полагал, что ничего нельзя знать с абсолютной уверенностью. Он даже ввел доктрину фальсификационизма. В ее рамках научной может считаться только такая теория, для которой существует методологическая возможность ее опровержения.
Традиционная математика отвергает эту точку зрения. Считается, что математические утверждения, доказанные в соответствии с принятыми канонами математического вывода, неоспоримо верны. И такими останутся. Эта перманентная природа математики — уникальная черта, выделяющая ее из всех интеллектуальных деяний человека.’
Информация
Стивен Кранц, Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить, 2020.
Steven G. Krantz, The Proof is in the Pudding: The Changing Nature of Mathematical Proof, 2011.
В книге Кранца одна глава посвящена статье Джона Хоргана Смерть доказательства. На эту тему см.
Смерть доказательства и поверхность Хоргана