Джон Финдли (1903–1987) решил объяснить результат первой теоремы Гёделя для людей, которые не хотят вникать в математические доказательства. С точки зрения Финдли можно вполне понять результат Гёделя при использовании самореферентных высказываний вместо арифметизации синтаксиса.
Некоторые самореферентные утверждения не вызывают проблем. Например, можно уверенно сказать, что утверждение
‘это предложение содержит более 100 букв’
ложно, а утверждение
‘это предложение содержит менее 100 букв’
истинно. В то же время другие самореферентные утверждения приводят к парадоксам, например, парадокс лжеца.
Финдли решил построить самореферентное утверждение, которое бы демонстрировало, что оно недоказуемо. При построении Финдли использовал два приема. Первый — это отличие имени выражения от самого выражения; при этом оставлено правило, когда имя выражения образуется из выражения при использовании апострофа. Например, Карл — выражение, ‘Карл’ — имя этого выражения. Второй прием — использование пропозициональной функции, например, ‘Х длинный’.
Итак, гёделево утверждение, построенное Финдли, выглядит таким образом:
Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции ‘Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции Y на имя пропозициональной функции’ на имя пропозициональной функции.
В апострофах стоит пропозициональная функция с переменной Y и при первом чтении эту функцию можно по сути дела пропустить. Теперь нам следует выполнить указание — взять пропозициональную функцию
‘Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции Y на имя пропозициональной функции’
и заменить в ней переменную Y на ее имя. В качестве такового будет выступать все предложение в апострофах. В результате мы получаем исходное утверждение:
Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции ‘Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции Y на имя пропозициональной функции’ на имя пропозициональной функции.
Итак, по сути дела в обычном языке продемонстрировано недоказуемое истинное утверждение в духе первой теоремы Гёделя.
Можно заметить в данном случае определенный парадокс. Если предложение недоказуемо, то тем самым его доказательство (демонстрация) по идее невозможно. Поэтому нередко можно увидеть другую формулировку первой теоремы Гёделя — существует утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках данной теории. В. А. Успенский предлагает разрешить этот парадокс таким образом:
‘Раз Гёдель доказал существование утверждения, которое, хотя и недоказуемо, является истинным, то, значит, он доказал истинность этого утверждения. Но ведь доказать истинность некоторого утверждения это и значит доказать это утверждение. Получается, что Гёдель доказал обсуждаемое утверждение, но тогда оно не может быть недоказуемым. Как же быть?’
‘Всё дело в том, что существуют два различных понятия доказательства и, следовательно, два различных понятия доказуемости. Первое из них хорошо известно всем из школы, да и из повседневной жизни тоже; мы будем называть его содержательным, или психологическим, доказательством. Второе принадлежит математической логике; мы будем называть его формальным доказательством.’
В этом духе можно сказать, что построение Финдли действует как психологическое доказательство и таким образом завуалировать парадокс с демонстрацией недоказуемого утверждения.
Я увидел информацию об утверждении Финдли в книге Майкла Полани. Перед этим он написал:
‘Легко предположить, что трудность понимания формализованной цепи рассуждений, например математического доказательства, заключается в ее непривычном для пас формализме. Однако словесное предложение может быть столь же трудным для понимания, как и какая-нибудь математическая формула.’
Затем Полани справедливо заметил:
‘многие люди, перечитав предложение Финдли раз двадцать, ничего в нем не поймут: оно не может сообщить им ничего вразумительного, потому что, нападая на след понимания, позволяющий осмыслить это предложение, они будут его постоянно терять. Решающими здесь являются природные способности и обучение. Когда летом 1949 года я показал финдлеевский текст Бертрану Расселу, он разобрался в его значении с первого взгляда.’
Интересно отметить, что далее Полани признался в том, что понять теорему Гёделя до конца ему так и не удалось:
‘Я и сейчас могу вспомнить ту общую процедуру, которой я следовал в своих лекциях примерно десятилетней давности, анализируя волновое уравнение для атома водорода, хотя ни одного фрагмента самого доказательства я уже не в состоянии записать; и это осмысленное припоминание удовлетворяет меня в том отношении, что я все еще понимаю волновую механику, а это поддерживает во мне убежденность в ее неоспоримости. С другой стороны, хотя я много раз продумывал один за другим все шаги формального доказательства упомянутой гёделевской теоремы, мне это ничего не дало, ибо я так и не смог уяснить себе их последовательность в целом.’
Информация
John Findlay, Goedelian sentences: A non-numerical approach. Mind 51, no. 203 (1942): 259-265.
Успенский, Владимир Андреевич. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Математическое просвещение, выпуск 15, 2011, с. 35-75.
Майкл Полани, Личностное знание. На пути к посткритической философии. 1985. Глава 5, Артикуляция (первое издание на английском в 1958 году).
Обсуждение
https://evgeniirudnyi.livejournal.com/282241.html
10.02.2026 Теоремы Гёделя и интеллектуалы
Ю. Л. Ершов, В. В. Целищев, Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании, 2012.
‘Данные теоремы [Гёделя] приобрели известность среди широкой публики в первую очередь по причине того, что многие интерпретируют их как важнейший строгий результат относительно фундаментальных ограничений человеческого мышления. Как бы туманно не звучала эта фраза, ей или ее клонам придается важное значение в самых разнообразных дискурсах. Поскольку теоремы Геделя формулируются для формальных систем математики, в частности для формальной арифметики, а формальная система эквивалентна идеализированной вычислительной машине, то теоремы Геделя могут быть интерпретированы как говорящие нечто и о возможностях компьютерного «мышления». К великому сожалению, результаты Геделя часто упоминаются к месту и не к месту, а в большинстве случаев их подлинное значение просто искажается, иногда до полной неузнаваемости.’
‘Типичная ситуация подобного толка превосходно передана С. Блэкберном:
Один мой друг слышал как-то разговор в Кембридже по поводу дела Деррида, предложение о присуждении которому почетной степени вызывало серьезное сопротивление джентльменов. Журналист, освещающий возникший скандал, спросил Видного Интеллектуала в Литературе, в чем заключается важность Деррида. «Ну, – сказал тот с снисходительной наглостью, – Гедель показал, что любая теория противоречива, если у ней нет поддержки извне, а Деррида показал, что этого извне нет». Здесь есть по крайней мере три примечательных вещи. Во-первых, того, что якобы сделал Гедель, вообще не может быть, поскольку существует весьма много непротиворечивых теорий. Во-вторых, Гедель на самом деле не доказал этого и не пытался доказать. В третьих, не имеет смысла говорить, что противоречивая теория могла бы быть непротиворечивой, будучи «поддержанной извне», что бы это ни значило. Так что то, что Деррида якобы сделал, так же невозможно, как и невозможно то, что якобы сделал Гедель. Такие ошибки приводят к провалу на экзамене по философии или логике на первом курсе. Однако это обстоятельство не производит особого впечатления в мире Видных Интеллектуалов в Литературе. В их мире простое упоминание Геделя, подобно типичному заклинанию типа «иерархий» и «метаязыков», создает впечатление чего-то страшно глубокого и страшно научного. Это придает Видному Интеллектуалу в литературе образ человека, которому по плечу самые трудные и глубокие проблемы, образ импресарио страшно трудных вещей.’