Джон Финдли (1903–1987) решил объяснить результат первой теоремы Гёделя для людей, которые не хотят вникать в математические доказательства. С точки зрения Финдли можно вполне понять результат Гёделя при использовании самореферентных высказываний вместо арифметизации синтаксиса.
Некоторые самореферентные утверждения не вызывают проблем. Например, можно уверенно сказать, что утверждение
‘это предложение содержит более 100 букв’
ложно, а утверждение
‘это предложение содержит менее 100 букв’
истинно. В то же время другие самореферентные утверждения приводят к парадоксам, например, парадокс лжеца.
Финдли решил построить самореферентное утверждение, которое бы демонстрировало, что оно недоказуемо. При построении Финдли использовал два приема. Первый — это отличие имени выражения от самого выражения; при этом оставлено правило, когда имя выражения образуется из выражения при использовании апострофа. Например, Карл — выражение, ‘Карл’ — имя этого выражения. Второй прием — использование пропозициональной функции, например, ‘Х длинный’.
Итак, гёделево утверждение, построенное Финдли, выглядит таким образом:
Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции ‘Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции Y на имя пропозициональной функции’ на имя пропозициональной функции.
В апострофах стоит пропозициональная функция с переменной Y и при первом чтении эту функцию можно по сути дела пропустить. Теперь нам следует выполнить указание — взять пропозициональную функцию
‘Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции Y на имя пропозициональной функции’
и заменить в ней переменную Y на ее имя. В качестве такового будет выступать все предложение в апострофах. В результате мы получаем исходное утверждение:
Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции ‘Не может быть доказано утверждение, к которому мы приходим путем замены переменной в пропозициональной функции Y на имя пропозициональной функции’ на имя пропозициональной функции.
Итак, по сути дела в обычном языке продемонстрировано недоказуемое истинное утверждение в духе первой теоремы Гёделя.
Можно заметить в данном случае определенный парадокс. Если предложение недоказуемо, то тем самым его доказательство (демонстрация) по идее невозможно. Поэтому нередко можно увидеть другую формулировку первой теоремы Гёделя — существует утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках данной теории. В. А. Успенский предлагает разрешить этот парадокс таким образом:
‘Раз Гёдель доказал существование утверждения, которое, хотя и недоказуемо, является истинным, то, значит, он доказал истинность этого утверждения. Но ведь доказать истинность некоторого утверждения это и значит доказать это утверждение. Получается, что Гёдель доказал обсуждаемое утверждение, но тогда оно не может быть недоказуемым. Как же быть?’
‘Всё дело в том, что существуют два различных понятия доказательства и, следовательно, два различных понятия доказуемости. Первое из них хорошо известно всем из школы, да и из повседневной жизни тоже; мы будем называть его содержательным, или психологическим, доказательством. Второе принадлежит математической логике; мы будем называть его формальным доказательством.’
В этом духе можно сказать, что построение Финдли действует как психологическое доказательство и таким образом завуалировать парадокс с демонстрацией недоказуемого утверждения.
Я увидел информацию об утверждении Финдли в книге Майкла Полани. Перед этим он написал:
‘Легко предположить, что трудность понимания формализованной цепи рассуждений, например математического доказательства, заключается в ее непривычном для пас формализме. Однако словесное предложение может быть столь же трудным для понимания, как и какая-нибудь математическая формула.’
Затем Полани справедливо заметил:
‘многие люди, перечитав предложение Финдли раз двадцать, ничего в нем не поймут: оно не может сообщить им ничего вразумительного, потому что, нападая на след понимания, позволяющий осмыслить это предложение, они будут его постоянно терять. Решающими здесь являются природные способности и обучение. Когда летом 1949 года я показал финдлеевский текст Бертрану Расселу, он разобрался в его значении с первого взгляда.’
Интересно отметить, что далее Полани признался в том, что понять теорему Гёделя до конца ему так и не удалось:
‘Я и сейчас могу вспомнить ту общую процедуру, которой я следовал в своих лекциях примерно десятилетней давности, анализируя волновое уравнение для атома водорода, хотя ни одного фрагмента самого доказательства я уже не в состоянии записать; и это осмысленное припоминание удовлетворяет меня в том отношении, что я все еще понимаю волновую механику, а это поддерживает во мне убежденность в ее неоспоримости. С другой стороны, хотя я много раз продумывал один за другим все шаги формального доказательства упомянутой гёделевской теоремы, мне это ничего не дало, ибо я так и не смог уяснить себе их последовательность в целом.’
Информация
John Findlay, Goedelian sentences: A non-numerical approach. Mind 51, no. 203 (1942): 259-265.
Успенский, Владимир Андреевич. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Математическое просвещение, выпуск 15, 2011, с. 35-75.
Майкл Полани, Личностное знание. На пути к посткритической философии. 1985. Глава 5, Артикуляция (первое издание на английском в 1958 году).