Книга математика Мориса Клайна ‘Математика. Утрата определенности‘ дает хорошее представление о доказательстве в математике. Преимуществом книги является рассмотрение отношения к доказательству в контексте истории развития математики. С этой точки зрения книгу можно отнести к интеллектуальной истории и отметить, что она подтверждает известное высказывание Робина Коллингвуда ‘невозможно понять естественные науки без понимания истории’.
Дедуктивное доказательство в духе геометрии Евклида считается идеалом достоверного знания. В качестве примера можно взять философа Томаса Гоббса, который познакомился с геометрией в 40 лет. Он увидел теорему Пифагора, которая показалась ему неверной, но при внимательном чтении доказательства он понял, что теорема правильная. Это настолько поразило философа, что он впоследствии старался всегда вести аргументацию в духе дедуктивного доказательства. Правда, следует отметить, что его попытки квадратуры круга не произвели впечатления на математиков.
Морис Клайн в книге разбирает ‘нелогичное развитие логичнейшей из наук’. Он обращает внимание, что развитие арифметики, алгебры, введение отрицательных и комплексных чисел, разработка аналитической геометрии, анализа и многих других областей математики в отличие от геометрии не было связано с дедуктивными доказательствами. Развитие этих математических идей было вызвано практическими нуждами, а обоснованием их правильности служило скорее успешное использование полученных «рецептов» при решении практических задач.
Грубо говоря, развитие математики за исключением геометрии шло путем естественных наук — раз работает, то значит все правильно. При этом такое положение дел продолжалось до второй половины девятнадцатого века. Клайн отмечает, что работа физика и математика во многом совпадала — требовалось понять книгу природы, написанную на языке математики. Записывались уравнения движения планет, гидродинамики, теплопроводности, электростатики. Далее решение этих уравнений находилось скорее на интуитивном уровне. Дедуктивные доказательства в духе геометрии Евклида были невозможны в связи с отсутствием необходимой системы аксиом.
Следует отметить, что такое положение дел отмечалось самими математиками. Например, многие математики после появления аналитической геометрии выступали против нее именно на этом основании:
‘Безграничное применение алгебры вызвало множество протестов. Философ Томас Гоббс был в математике величиной далеко не первого порядка, тем не менее именно он выразил мнение многих математиков, выступив с протестом против «несметного полчища тех, кто применяет алгебру к геометрии». Гоббс утверждал, что алгебраисты ошибочно подменяют геометрию символами, и отозвался о книге Джона Валлиса по аналитической геометрии конических сечений как о «гнусной книге», покрытой «паршой символов».’
По всей видимости именно по этой причине Исаак Ньютон решил использовать в ‘Математических началах натуральной философии‘ именно геометрические доказательства и скрыл разработанный им метод анализа от внешних глаз.
В книге Клайн пишет таким образом:
‘К началу XIX в. математика оказалась в весьма парадоксальной ситуации. Ее успехи в описании и предсказании физических явлений превзошли самые смелые ожидания. Но при этом многие математики еще в XVIII в. отмечали, что все огромное здание математической науки было лишено логического фундамента и держалось на столь шатких основаниях, что не было уверенности в «правильности» этой науки. Подобная ситуация сохранялась и в течение всей первой половины XIX в.’
Поворотным пунктом стало открытие неевклидовых геометрий. Интересно отметить, что уже Фридрих Гаусс понял, что они возможны. Но он предусмотрительно не стал публиковать свои открытия, поскольку он понимал, что ‘осы, гнездо которых вы потревожите, полетят вам на голову’. Поэтому в результате все шишки достались Лобачевскому и Бойаи (который в результате этого тронулся умом), а труды Гаусса были опубликованы только посмертно.
Существование неевклидовых геометрий означало, что математические истины перестали быть истинами о мире — геометрий много, а мир один. Вполне можно сказать, что это привело к окончательному отделению математики от физики. Другое поворотное открытие, которое отмечается в книге Клайна — это кватернионы. Операции с ними не коммутативны; это привело к осознанию, что в зависимости от интерпретации алгебраическое выражение может быть как истинным, так и ложным.
‘На протяжении двух тысячелетий математики были уверены в том, что весьма успешно открывают математические принципы, заложенные в фундаменте мироздания. Но в середине XIX в. они вынуждены были признать, что глубоко заблуждались, принимая математические законы за абсолютные истины.’
Постепенно математики смирились с таким положение вещей и, как минимум, они решили доказать внутреннюю непротиворечивость математики. Поэтому вторая половина девятнадцатого века была ознаменована поиском дедуктивных доказательств во всех областях математики. Поиск оснований был омрачен парадоксами теории множеств, но далее в конце девятнадцатого — начале двадцатого века сложились четыре основные конкурирующие программы основания математики:
Логицизм. Фреге, Рассел, Уайтхед, Куйан, Черч. ‘Математика может быть полностью выведена из логики.’ В основе лежат аксиомы логики, пропозициональные функции, классы/множества, отношения, а затем числа как взаимооднозначное соответствие между классами.
Интуиционизм. Эгберт Брауэр, Вейль, Гейтинг:
‘Математика, считает Брауэр, — это человеческая деятельность, которая начинается и протекает в разуме человека. Вне человеческого разума математика не существует. Следовательно, заключает Брауэр, математика не зависит от реального мира. Разум непосредственно постигает основные, ясные и понятные, интуитивные представления. Они являются не чувственными или эмпирическими, а непосредственно данными, достоверными представлениями о некоторых математических понятиях. К таким понятиям относятся целые числа.’
‘Помимо натуральных чисел Брауэр считал интуитивно ясными сложение, умножение и математическую индукцию. Кроме того, получив натуральные числа 1, 2, 3, . . ., разум, используя возможность неограниченного повторения «пустой формы» — шаги от n к n+1,— создает бесконечные множества.’
Формализм. Гильберт, Аккерман, Бернайс, фон Нейман. Аксиомы включают в себя утверждения как о логике, так и о математике. ‘Элементами математического мышления следует считать символы и высказывания, т.е. комбинации или строки символов.’
Теоретико-множественное направление. Цермело, Френкель, Бурбаки. Прямая аксиоматизация теории множеств, числа получаются из множеств.
Клайн описывает сложившуюся ситуацию так:
‘Итак, к тридцатым годам XX в. сложились четыре различных, так или иначе конфликтующих подхода к математике, и сторонники различных направлений, не будет преувеличением сказать вели между собой ожесточенную борьбу. Никто не мог более утверждать, что такая-то и такая-то теорема доказана правильно: в 30-е годы непременно следовало пояснить, каким стандартам правильности удовлетворяет данное доказательство.’
С другой стороны, в целом положение было не так уж и плохо:
‘Оглядываясь назад, можно сказать, что состояние оснований математики в 30-е годы XX в. было вполне удовлетворительным. Парадоксы были разрешены, хотя каждая из школ в основаниях математики решала их по-своему. Правда, не существовало единого мнения относительно того, какую математику надлежит считать правильной, но каждый математик мог выбрать подход, наиболее отвечающий его вкусам, и действовать в соответствии с принципами, которых придерживались сторонники данного направления.’
Ситуация существенно изменилась после доказательств теорем Гёделя:
‘Результат Гёделя послужил поводом для известного высказывания Германа Вейля: «Бог существует, поскольку математика, несомненно, непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем».’
На этом я остановлюсь. Могу только порекомендовать познакомиться с книгой в случае, если вы ее еще не видели. Книга прекрасно написана и она дает хорошее представление о доказательстве в математике.
В заключение только отмечу, что математика в любом случае позволяет решать практические задачи и что без математики наука невозможна. В этом смысле можно обойтись и без надежных оснований, о которых мечтали математики в конце 19-ого — начале 20-ого века. Тем не менее, история, рассказанная в книге Клайна, крайне поучительна.
Информация
Морис Клайн, Математика. Утрата определенности, 1984.
Morris Kline, Mathematics. The loss of certainty, 1980.