- Кантор: Бесконечность и теология
- Кантор: Теория множеств как откровение
- Майстер Экхарт как гёделианец
Ниже мои впечатления от книги Амира Ацеля ‘Мистерия Алефа: Математика, Каббала и поиск бесконечности‘. Книга посвящена истории исследований актуальной бесконечности в математике. Главным героем книги является Георг Кантор, который считается отцом актуальной бесконечности в математике, но в книге неплохо рассмотрена вся история исследований бесконечности от античности до наших дней. В книге также уделяется внимание каббале и работам христианских теологов, поскольку похоже невозможно отделить бесконечность от теологии.
Из историй о математиках меня больше всего поразила судьба Карла Вейерштрасса. Оказывается, он создал свою теорию математического анализа за четырнадцать лет работы школьным учителем. Известность Вейерштрассу принесла его статья, в которой он опубликовал свои результаты. Затем как по мановению волшебной палочки Вейерштрасс превратился из школьного учителя в профессора Берлинского университета.
Из российских математиков, исследовавших бесконечность, в книге отмечен Николай Николаевич Лузин (1883 — 1950).
Кантор показал, что существуют разные бесконечные множества, мощность которых определяется трансфинитными числами, который Кантор назвал алефами. Мощность бесконечного множества целых чисел равна алеф-нуль. Далее можно построить множества с мощностями алеф-один, алеф-два и так далее до очередной бесконечности. Кантор также предложил гипотезу континуума, которая говорит, что мощность бесконечного множества действительных чисел равна алеф-один.
Рассудок Кантора не справился с размышлениями о бесконечности и нападками других математиков, которые были против введения актуальной бесконечности. Кантор периодически попадал в нервную клинику из-за депрессий.
Интересно отметить, что отношение у христианских теологов к исследованиям Кантора в целом было более благосклонно, чем у математиков. Сам Кантор пришел к выводу, что трансфинитные числа являются откровением Бога, который выбрал Кантора для передачи этой важной информации людям.
Как пишет Ацель, рассудок Курта Гёделя также не справился с актуальной бесконечностью. Гёдель был убежден, что все хотят его отравить.
Интересное сходство между нервными расстройствами Кантора и Гёделя. После многих неудачных попыток доказать гипотезу континуума, Кантор переключился с математики на английскую литературу и увлеченно доказывал, что все труды Шекспира написаны Фрэнсисом Бэконом. Гёдель же для переключения выбрал гипотезу о том, что идеи Лейбница не принадлежали Лейбницу. Также можно отметить, что Гёдель предложил свое доказательство существования Бога. Оно напоминает онтологическое доказательство Ансельма Кентерберийского, но уже на строгом языке математической логики.
Правда следует отметить, что другой областью исследований, которая отвлекала Гёделя от бесконечности, была теория относительности. К удовольствию Эйнштейна Гёдель нашел одно решение уравнения общей теории относительности, которое допускало путешествия во времени.
Амир Ацель — математик и он убежден, что математики открывают существующие математические объекты. Трудно представить себе математика, который последовательно избегает идеи о том, что математические объекты живут в Платонии. Хотя мне лично ближе идея Кронекера (непримиримого противника Кантора) о том, что Бог создал только натуральные числа, а все остальное уже творение человека.
В заключение должен сказать, что книга Ацеля хорошо написана. Количество теологии в книге крайне умеренно и книгу несмотря на название можно отнести к хорошей научно-популярной литературе. Я рекомендую книгу всем, кто хочет познакомиться с работами математиков в области актуальной бесконечности и узнать про несчетное количество парадоксов, которые привносят с собой такие идеи.
Информация
Amir D. Aczel, The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity.
В.Н.Катасонов, Лестница на небо (Генезис теории множеств Г.Кантора и проблема границ науки).
Joseph W. Dauben, Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite, Journal of the History of Ideas, Vol. 38, No. 1, 1977, pp. 85-108
Дополнительная информация
Мысли о математике: Подход Успенского и чистая математика. История математики: возникновение чистой математики. Математические структуры в чистой математике. Математическое доказательство и интуиция. Математика и мир.
Отель Бесконечность Гильберта и Георгий Гамов: Раздел в конце заметки.
1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12: Информация о равенстве, которое связано с дзетой функции Римана zeta(-1). Даны ссылки на обсуждения этого равенства с другими пользователями ЖЖ.
Обсуждение
https://evgeniirudnyi.livejournal.com/112328.html
egovoru: Сквозит двойная бесконечность
i-ddragon: Про континуум-гипотезу и весьма странные следствия
01.01.2016 Кантор: Теория множеств как откровение
Я просмотрел книгу В. Н. Катасонова ‘Боровшийся с бесконечностью: Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора‘.
Книга написано неплохо и в ней много цитат Кантора. Ниже я просто приведу пару цитат самого Кантора из книги.
‘Мои дорогие друзья, любящие называть себя математиками, могут думать о моих идеях все, что угодно, они могут писать о том, что им кажется правильным, в Лондон, Париж, хоть на Камчатку, но я твердо знаю, что идеи, над которыми я тружусь со своими слабыми силами, будут занимать мыслящие умы целых поколений, даже и в то время, когда я сам и мои добрые друзья, господа математики, уже давно проследуют путем всех смертных. Я далек от того, чтобы приписывать мои открытия личным достоинствам, потому что я есть лишь инструмент некой высшей силы, которая будет работать и после меня, тем же самым образом, как она проявила себя тысячи лет назад в Евклиде и Архимеде…’
‘Мною впервые предложено христианской философии истинное учение о бесконечном в его началах. Я знаю совершенно точно и определенно, что она воспримет это учение, вопрос состоит только в том, сейчас или уже после моей смерти. Эту альтернативу я воспринимаю совершенно равнодушно, она не затрагивает моей бедной души, которую я спешу вручить Вам, достопочтимый отец, и Вашим благочестивым молитвам.’
12.01.2025 https://evgeniirudnyi.livejournal.com/391274.html
19.03.2026 Майстер Экхарт как гёделианец
Теорема Гёделя, как и энтропия, вошла в общественное сознание в виде базовой метафоры. Вряд ли можно это изменить — можно только находить в этом маленькие радости. Ниже перевод фрагментов забавного текста Roger Engfuge:
Неосуществленная проповедь 1327 года с комментариями логика из 1931 г.
1. Проповедь начинается словами «Возлюбленные дети, говорю вам: Бог — это предложение, которое не может доказать самого себя.» Крестьяне благоговейно кивают, не подозревая, что их только что втянули в метаматематику.
2. Экхарт продолжает «В глубине души живет неразрешимое ядро. Не называйте его Богом. Не называйте его не-Богом. Назовите его: аксиома без свойств.» Приор падает в обморок. Молодой монах неправильно списывает ‘аксиома’ и позже основывает схоластику.
3. Гёдель фигурирует как примечание. Путешествующий во времени логик бормочет: «В этом как раз заключается суть. Каждая система содержит в себе свою бездну.» Экхарт улыбается: «Я называю эту бездну: Божество.» Гедель отмечает: «Интересно. Мистики доказывают теоремы молчанием.»
6. Сатирическая кульминация. Экхарт: «Бог — это не существо. Бог — это утверждение: ‘Я недоказуем, но необходим.’» Гедель: «Это моя теорема нумер два.» Экхарт: «Нет, брат. Это моя теорема нумер нуль.»
7. Эпилог. Церковь осуждает Экхарта. Гедель пишет статью. Оба позже будут неправильно поняты философами. Крестьяне идут домой и рассказывают: «Проповедник сказал, что Бог — это неполный алгоритм». Так начинается современная метафизика.