Существуют ли комплексные числа?

Физик Сабина Хоссенфельдер задалась вопросом о том, существуют ли комплексные числа. Из введения к заметке не совсем понятно, рассматривает ли она этот вопрос в шутку или всерьез, хотя можно предположить, что этот вопрос ее действительно волнует.

Поводом к рассмотрению стала статья, недавно выложенная в arxiv, ‘Квантовой физике необходимы комплексные числа‘ . В статье предлагаются эксперименты, напоминающие эксперименты, связанные с неравенствами Белла. Только в данном случае на кону другой вопрос — можно ли создать квантовую физику без использования комплексных чисел. То есть, является ли использование комплексных чисел в квантовой физике формальным математическим трюком или комплексная арифметика каким-то образом неразрывно связана с происходящими физическими процессами.

Следует отметить, что авторы статьи не ставят вопрос о существовании комплексных чисел. Также этот вопрос не рассматривает Скотт Ааронсон, достаточно положительно отреагировавший на статью в своем блоге. Реакция Хоссенфельдер оказалось более непосредственной, ее отношение к происходящему передает эта цитата:

‘только если математическая структура действительно необходима для описания наблюдений, мы можем сказать, что она “существует” научно значимым образом.’

Другими словами, если эксперименты в будущем покажут, что квантовая физика без комплексных чисел невозможна, то можно будет уверенно сказать, что комплексные числа существуют.

Среди комментариев можно увидеть вопросы, которые обобщают вопрос, поставленный Хоссенфельдер, на математику с действительными числами:

‘Существует ли пространство Гильберта? Существуют ли линейные операторы? Существуют ли числа Грассмана?’

Ответ Хоссенфельдер совместим с цитатой выше:

‘Это зависит от вашего понимания «существовать». Если вы считаете, что пространство и время существуют, то гильбертовы пространства (по крайней мере некоторые из них) также существуют.’

Я задал похожий вопро: существует ли число Пи, поскольку физика на него завязана. Хоссенфельдер отделалась от моего вопроса таким образом:

‘До сих пор никто не заметил разницы между округленным Пи, скажем до сотого знака, и Пи. Таким образом, физика полностью возможна без Пи.’

Вопрос о существовании округленного Пи остался открытым. В целом затронутый вопрос бьет в сердцевину философии физикализма:

‘Физикализм — это тезис о том, что все является физическим’

Физикализм — это версия материализма, которая пытается избежать вопроса о том, является ли поле материей или нет. Логика примерно такая — раз физики говорят о поле, значит поле существует. Другими словами, существует только то, о чем говорят физики.

Однако поставленный вопрос Хоссенфельдер хорошо показывает, что фундаментальная физика невозможна без использования математических объектов, при этом неважно, требуется ли комплексная математика для построения квантовой механики или нет. В любом случае возникает неразрешимый вопрос, что такое физическое без математического.

Квантовая механика в этом отношении является крайне хорошим примером. До ее возникновения философы могли представлять себе мироздание в виде множества взаимодействующих частиц. Однако, в квантовой механике элементарная частица неразрывно связана с волновой функцией. Поэтому вопрос становится таким: относится ли волновая функция к физическому или нет. Более того, в теории квантового поля частица является возбужденным состоянием квантового поля, то есть, представить себе физическое становится гораздо сложнее.

Существование математических объектов самих по себе поднимает вопрос о существовании Платонии — идеального мира, в котором существуют математические объекты. Философы, поддерживающие физикализм, обычно отвергают существование Платонии, поскольку последняя явно связана с идеализмом — получается, что далеко не все является физическим. В данной ситуации философы-физикалисты предпочитают сказать, что математика — это язык, разработанный людьми, которые в ходе своего развития приспосабливались к окружающему их внешнему физическому миру.

Интересно отметить, что есть физики, которые занимают аналогичную позицию. Например, физик Брайан Грин в последний книге пишет о математике таким образом:

‘Исторически физическая интуиция наших предков питалась информацией о закономерностях, очевидных в повседневной жизни, от падающих камней до ломающихся ветвей и несущихся потоков; инстинктивное понимание повседневной механики несет в себе явную пользу для выживания.’

‘естественный отбор сформировал наши интуитивные представления об основах физики’

‘Уравнения, лежащие в основе современной физики, представляют собой наши самые точные формулировки этих законов. При помощи многочисленных экспериментов и наблюдений мы установили, что эти уравнения дают чрезвычайно точное описание мира. Но у нас нет никакой гарантии, что они выражены посредством лексикона, изначально присущего природе. Хотя я считаю это маловероятным, но допускаю возможность, что в будущем, когда мы с гордостью покажем инопланетным гостям свои уравнения, они вежливо улыбнутся и скажут, что они тоже начинали с математики и лишь затем открыли настоящий язык реальности.’

Таким образом, с точки зрения Грина физическое не есть математическое. Однако что-же такое в этом случае физическое?

В заключение приведу ответ физика Шона Кэрролла, сторонника многомировой интерпретации квантовой механики, на вопрос, что такое реальность:

‘Лучший ответ, который мы можем дать, заключается в том, что реальность это вектор в гильбертовом пространстве.’

Отмечу, что из книг Кэрролла трудно понять его позицию по поводу математики. С одной стороны, он продвигает поэтический натурализм и в этом случае я бы ожидал высказывание в духе Грина — математика это всего лишь хороший способ обсуждения мира. С другой, если реальность — это вектор в гильбертовом пространстве, то следовало бы ожидать, что согласно Кэрроллу это самое гильбертово пространство непременно существует.

25.12.21

Появилась статья в Nature:

Renou, MO., Trillo, D., Weilenmann, M. et al. Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified. Nature 600, 625–629 (2021).

Можно экспериментально опровергнуть квантовую теорию, основанную на действительных числах

Исследуется, действительно ли комплексные числа необходимы при построении квантового формализма. Показано, что это именно так, путем доказательства, что действительные и комплекстные формулировки квантовой теории в гильбертовом пространстве приводят к разным предсказаниям в сетевых сценариях, включающих независимые состояния и измерения. Это позволяет предложить эксперимент, подобный таковому у Белла, успешная реализация которого опровергнет квантовую теорию на действительных числах, точно так же, как стандартные эксперименты Белла опровергли локальную физику.

https://evgeniirudnyi.livejournal.com/272699.html