Люис Кэрролл в диалоге между Ахиллом и черепахой показал опасность бесконечного регресса в логическом доказательстве. В рассказе Ахилл догнал и уселся на черепаху, которая в свою очередь предложила ему другое бесконечное путешествие, но уже в области логики. Задача сводилась к доказательству следствия (Z) из (А) и (В):
(А) Равные одному и тому же равны между собой.
(В) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.
(Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.
Задача кажется очевидной, но хитрая черепаха предложила Ахиллу сценарий, когда она соглашается с истинностью (А) и (В), но при этом отвергает условное утверждения (С):
(С) Если А и В истинны, то Z должно быть истинным.
При попытке Ахилла просто объявить (С) истинным появляется бесконечный регресс, который хорошо обыгран в рассказе Кэрролла — см. исходный диалог.
Проблема в целом понятна — регресс появляется при желании логически обосновать правило логики, используемое в доказательстве; правило вывода нельзя рассматривать как дополнительную посылку логического доказательства. С другой стороны возникает вопрос, каким образом человек соглашается с правилами логики; получается, что его нельзя в этом убедить в рамках чистой логики.
Драгалина-Черная в статье ‘Дом, который построил Кэрролл: регресс и адоптация в формальном обосновании‘ рассматривает возможные решения этого вопроса. Так, Аристотель говорил о невежестве:
‘ведь это невежество не знать, для чего следует искать доказательства и для чего не следует. На самом же деле для всего без исключения доказательства быть не может (ведь иначе приходилось бы идти в бесконечность, так что и в этом случае доказательства не было бы)’
Чарльз Пирс опирался на привычку разума:
‘Руководящим принципом логического руководящего принципа рассуждения является сам этот принцип, который представляет собой, согласно Пирсу, привычку разума.
Таким образом, следуя Пирсу, можно сказать, что кэрролловской Черепахе не хватает не дополнительной посылки, а рациональной веры — осознанной привычки разума, определяющей действия. ‘
Гилберт Райл для разрешения противоречия вводил ‘знание как’:
‘Радикальный выход из этого затруднения предлагает Гилберт Райл. Инвенция Кэрролла показывает, с его точки зрения, что знание, необходимое для логического вывода, — это не знание что, а знание как. Это знание как сводится к наличию диспозиций, которые коренятся не в пропозициональном схватывании правил вывода, а в привычках рассуждения.’
Вопрос однако остается, при этом в двух вариантах. Во-первых, как утверждают, истинный ученый должен периодически все подвергать сомнению. Тот же Пирс подчеркивал, что подлинное рассуждение связано с осознанием логического руководящего принципа:
‘Согласно Пирсу, именно рефлексивный, самоконтролируемый характер рассуждения связывает логику с моралью. В этой перспективе Черепаха предстает не безвольным прокрастинатором, саботирующим выведение очевидного заключения, но морально ответственным агентом, переключающим всю свою железную волю с выведения логических следствий на их пропозициональное обоснование и доводящим тем самым до абсурда пирсеанский принцип рефлексивного самоконтроля.’
С другой стороны возникает вопрос, связанный с обучением — как выйти из состояния невежества и приобрести привычку разума или ‘знание как’. Сол Крипке сравнивал эту проблему с адоптацией:
‘Адоптация логического правила означает его признание и осуществление логических выводов в соответствии с этим правилом именно в силу этого признания. Таким образом, адоптация логического правила R включает: признание R, осуществление выводов в соответствии с R, а также осуществление этих выводов именно в силу признания R.’
Однако по Крипке на этому пути возникает аналогичный бесконечный регресс:
‘Согласно Крипке, проблема адоптации состоит в том, что базисные логические принципы не могут быть приняты как руководство к осуществлению вывода в результате особого когнитивного усилия, направленного на их признание, поскольку рациональный агент, который уже делает выводы в соответствии с базисными логическими принципами, не нуждается в их признании, а тот, кто не делает таких выводов, вообще неспособен эти принципы признать.’
Интересно отметить, что Гилберт Райл также говорил о том, что обучение логике возможно только в том, случае когда у человеке уже есть начальное представление о логике:
‘Моральным императивам и порицаниям нет места в жизни святых или полных грешников. . . Логические правила. . . подобным же образом полезны только для полуобученных (half-trained).’
В статье Драгалиной-Черной об этом говорится таким образом:
‘Обучение логике, достоверно повышающее способность безошибочно выполнять дедуктивные выводы, адресовано не тем, кто никогда не использовал правила логического вывода, но тем, кто уже бесчисленное множество раз рассуждал в соответствии с этими правилами, хотя, вероятно, и допускал ошибки в этих рассуждениях.’
Другими словами можно сказать так — чтобы начать игру, вначале следует в нее войти. С этой точки зрения представление о логике как конвенции или особой языковой игре не спасает ситуацию:
‘Проблема адоптации не имеет решения на основе принципа толерантности Рудольфа Карнапа, согласно которому «любые постулаты и правила вывода могут выбираться произвольно; тогда этот выбор, каким бы он ни был, определит, какое значение следует придать основным логическим символам». Напротив, сам этот принцип опирается на идею адоптации и провоцирует бесконечный регресс. Логика не может основываться на преднамеренных конвенциях, поскольку для того, чтобы следовать конвенциям, мы должны уже уметь делать из них логические выводы, но в таком случае логика должна предшествовать конвенциям, а не основываться на них: «Одним словом, трудность состоит в том, что, если логика должна опосредованно исходить из конвенций, она необходима для вывода логики из конвенций» [приведена цитата Уилларда Куайна].’
В завершение пара цитат из заключения статьи Драгалиной-Черной:
‘Дом, который построил Кэрролл для иллюстрации бесконечного регресса обоснования, оказался причудливым архитектурным сооружением. Ни очевидность, ни топы, ни привычки, ни диспозиции не смогли обеспечить ему фундамент. Рациональная конвенция не открыла вход в этот дом, поскольку такая конвенция возможна лишь для тех, кто уже находится внутри него. А тот, кто находится в доме, не найдет из него выхода, поскольку его собственная концептуальная активность меняет несущие конструкции, обрекая его на бесконечное блуждание по создаваемым им самим лабиринтам циклического обоснования.’
‘удачной альтернативой может стать метафора сети знания или, например, иммунной системы разума: «Логика — это не какая-то кампания по вакцинации, уничтожающая все болезни раз и навсегда. Это скорее иммунная система разума!» [Van Benthem].’
Информация
Е. Г. Драгалина-Черная, Дом, который построил Кэрролл: регресс и адоптация в формальном обосновании, Логические исследования. 2022, Т. 28, № 1, С. 27-49.
Л. Кэрролл, Что черепаха сказала Ахиллу, в кн. Л. Кэрролл, История с узелками, 1985. С. 368—372.