Ранее: Стрела времени по Больцману
Содержание: Термодинамика
Энтропия Гиббса представляет особый интерес для философии физики, поскольку энтропия, введенная Гиббсом при построении статистической механики, формально остается постоянной в неравновесном процессе. Таким образом возникает противоречие между математическим фактом в рамках теории физики и вторым законом термодинамики. Ниже после краткого описания работы Гиббса, в которой Гиббс первым обратил внимание на это обстоятельство, представлены реакции физиков.
Термин статистическая механика идет от названия книги Гиббса ‘Статистическая механика‘ 1902 года; он связан с тем, что рассматривается поведение системы из большого количества частиц, подчиняющейся законам механики Гамильтона. В настоящее время также используются термины статистическая физика или статистическая термодинамика. Людвиг Больцман высоко оценил книгу Гиббса; в лекции Больцмана в 1904 году ‘О статистической механике‘ подчеркивалась роль Гиббса:
‘Заслуга приведения этой науки в единую систему, изложения ее в одной объемистой монографии и придания ей характерного имени принадлежит одному из величайших американских мыслителей, а в области чистого абстрактного мышления и чисто теоретических исследований, может быть, величайшему из всех — Уилларду Гиббсу, недавно скончавшемуся профессору Йельского колледжа. Он назвал эту науку статистической механикой.’
Работы Больцмана в этой области в основном были посвящены поведению разреженных газов, что отражено в названии его книги ‘Лекции по теорию газов‘, поэтому область применения его подхода была ограничена. Для рассмотрения систем с любыми взаимодействиями между частицами Гиббс ввел понятие ансамбля, которое нередко интерпретируется как уход от рассмотрения индивидуальной системы. Например, Больцман в лекции написал таким образом (также см. ниже цитаты из описания программы ‘Назад к Больцману’):
‘Для математической трактовки этого предположения была изобретена особая наука, имевшая своей задачей не рассмотрение движения каждой отдельной механической системы, но нахождение свойств комплекса очень многих механических систем.’
Введение ансамбля требовалось для наглядного представления плотности вероятности в многомерном фазовом пространстве, в котором детерминированная траектория механической системы отображалась в виде линии, а отдельная точка представляла текущее состояние системы (координаты и импульсы всех частиц). Таким образом ансамбль Гиббса позволяет ввести частотную интерпретацию плотности вероятности и тем самым придать наглядность мысленному образу уравнения Лиувилля для изменения плотности вероятности во времени.
В то же время по-прежнему предполагается, что ученый работает с единственным экземпляром системы. Введение плотности вероятности соответствует незнанию микроскопических деталей и ожиданию, что макросвойства изучаемой системы одинаковы для всех микросистем, принадлежащих данной плотности вероятности. Следует отметить, что формально введение вероятностей для поведения детерминированной системы соответствует незнанию деталей и тем самым само по себе вызывает обсуждение вопроса, к чему относятся вероятности — к миру или к человеку.
Гиббс ввел энтропию системы как средний логарифм плотности вероятности — можно увидеть аналогию с H-функцией Больцмана для одночастичного распределения вероятности. Однако в силу особенностей уравнения Лиувилля средний логарифм плотности вероятности остается постоянном при изменении плотности вероятности. Таким образом энтропия, введенная Гиббсом, при протекании необратимого процесса в изолированной системе формально остается постоянной, что вступает в противоречие со вторым законом термодинамики.
Другими словами, энтропия Гиббса подходит в случае рассмотрения равновесного состояния системы, но требуется осторожность в случае неравновесных состояний. Важно отметить, что Гиббс понимал ограничение введенной им энтропии системы. В его книге в качестве возможного решения предлагались идеи о перемешивании фазового объема при приближении к равновесному состоянию и о необходимости смены порядка усреднения при вычислении энтропии. Эти идеи были переведены на язык уравнений в статье супругов Эренфест ‘Принципиальные основы статистического подхода в механике‘ в 1912 году, где были введены понятия грубой и точной плотности вероятности, а также грубой и точной энтропии по Гиббсу. Грубая энтропия Гиббса с использованием грубой плотности вероятности в изолированной системе будет возрастать.
В дальнейшем развитии статистической механики использовался метод Гиббса, который был перенесен на случай квантовой механики; было также формально обосновано использование квазиклассического приближения. Во многом работы были связаны с изучением равновесных распределений, когда проблемы с энтропий не возникало; были получены важные результаты для расчета термодинамических свойств веществ исходя из молекулярных свойств. Для неравновесных систем был разработан метод теории линейного отклика для оценки транспортных свойств веществ, а также ряд кинетических уравнений.
В случае неравновесных систем существует общая проблема статистической физики. Как исходные уравнения механики Гамильтона, уравнение Лиувилля симметрично относительно времени. Таким образом, получение кинетических уравнений, которые стремятся к достижению равновесных состояний, требует дополнительных предположений. Так, кинетическое уравнение Больцмана получается в случае дополнительной гипотезы ‘молекулярного хаоса’. Аналогичные предположения делались при выводе более общих кинетических уравнений.
Приведу несколько цитат из книги Зубарева, Морозова и Рёпке ‘Статистическая механика неравновесных процессов‘, которые показывают отношение к этой проблеме и к энтропии Гиббса со стороны решения практических задач:
‘Изолированные системы, изучаемые в классической механике, обладают симметрией по отношению к обращению времени, так как их гамильтонианы инвариантны при замене импульсов на обратные и не зависят явно от времени.’
По этому поводу в книге приводится цитата из лекций Р. Пайерлса по теории процессов переноса:
‘В каждом теоретическом исследовании процессов переноса нужно ясно понимать, в каком месте введена необратимость. Если она не введена, теория неверна. Подход, в котором сохранена симметрия относительно обращения времени, неизбежно дает нулевые или бесконечные значения для коэффициентов переноса. Если мы не видим, где была введена необратимость, то мы не понимаем, что мы делаем.’
В книге обсуждается проблема энтропии Гиббса (грубое распределение называется крупноструктурным) и обсуждаются возможные решения проблемы с точной энтропией Гиббса, при этом главное внимание уделяется порядку усреднения. В то же время в книге крупноструктурная и точная энтропия Гиббса не используются при нахождении практических решений в неравновесной статистической механике. Можно сказать, что при решении практических задач физики понимают особенности требуемых решений и поэтому особых проблем с использованием формализма Гиббса не возникает.
С другой стороны, существует желание обосновать стрелу времени (возрастание энтропии в изолированной системе) без введения дополнительных предположений, оставаясь в рамках законов механики, симметричных во времени. Строгое математическое решение в общем случае невозможно, но возможны математические доказательства для специальных случаев, а также попытки обоснования на уровне ‘физического смысла’.
Математические рассмотрения связаны с идей Гиббса о перемешивании объема неравновесного состояния в фазовом пространстве. Математики ввели формальное определение этого процесса (Хопф, 1937 год) и нашли отличия перемешиваемости от эргодичности (представления о приближенном равенстве между средним по времени и средним по плотности вероятности). Были доказаны ряд теорем, а также идеи перемешивания были совмещены с разработкой формализма детерминированного хаоса. Из диссертации Мухина ‘Развитие концепции динамического хаоса в СССР‘:
‘Системы с перемешиванием легли в основу пионерских работ по обоснованию статистической механики Николая Сергеевича Крылова, очень талантливого и рано умершего ученика В. А. Фока. … По словам Крылова, «… законы статистики и термодинамики существуют потому, что для статистических систем (являющихся системами размешивающегося типа) справедлив равномерный закон распределения начальных микроскопических состояний внутри выделенной опытом области фазового пространства ΔГо. … В настоящей работе понятие эргодичности остается в стороне. Мы отказываемся от принятия эргодической гипотезы. Мы исходим из понятия движений размешивающегося типа. … Такое размешивание связано с тем, что в n-мерном конфигурационном пространстве близкие в начале траектории расходятся очень быстро, так, что их нормальное расстояние возрастает по экспоненциальному закону.».’
‘Мысль Крылова выражена совершенно четко. Во главу угла кладется понятие перемешивания, посредством которого можно описать физический процесс релаксации — переход системы в стационарное состояние, независимо от того, в каком состоянии находилась система. Начиная с Гиббса, неоднократно выдвигалась идея о необходимости перемешивания в системах статистической механики, но, наверное, к Крылову восходит идея о связи перемешивания с локальной характеристикой движения в таких системах — экспоненциальной неустойчивостью.’
Однако не существует доказательства такого свойства для всех систем, рассматриваемых в физике, при этом ссылки на огромное количество частиц не достаточно:
‘В физике были распространены представления, что в системах с большим числом степеней свободы, таких как системы статистической механики, преимущественное значение имеют транзитивный случай и перемешивание, а системы с малым числом степеней свободы демонстрируют регулярное поведение. Колмогоров отмечает, что эта идея, видимо, основана на преимущественном внимании к линейным системам и к небольшому набору интегрируемых классических задач, и указанные представления имеют ограниченное значение. Ключевая идея Колмогорова состоит в том, что между двумя типами поведения — регулярным и сложным, нерегулярным — не существует пропасти, многомерные системы могут демонстрировать регулярное движение, а системы с небольшим числом степеней свободы могут быть хаотическими.’
Альтернатива связана с восприятием точной энтропии Гиббса в буквальном смысле слова; в этом случае под сомнение попадает энтропия в классической термодинамике — она трактуется как незнание. Более того, выражение информационной энтропии в теории информации Шеннона в 1948 году совпало с выражением для энтропии Гиббса. Это дало дополнительный повод для трактовки энтропии в духе информации. Приведу выразительную цитату из статьи физика Эдвина Джейнса 1957 года, в которой использовалось сходство уравнений для термодинамической и информационной энтропии:
‘При такой интерпретации выражение «необратимый процесс» представляет собой семантическую путаницу; необратим не физический процесс, а скорее наша способность следовать за ним. Тогда второй закон термодинамики становится просто утверждением о том, что, хотя наша информация о состоянии системы может быть утеряна различными способами, единственный способ ее получения — это проведение дальнейших измерений.’
Не все представители этого направления были так радикальны и, как пишут, Джейнс имел в виду не отдельного человека, а скорее все человечество. В любом случае это было толчком к проникновению информации в физику. Энтропия Гиббса сыграла немалую роль в этом процессе — cм. ‘История появления информационной физики‘.
Последний вариант обоснования можно охарактеризовать как ‘Назад к Больцману’. В определенном смысле уравнения Больцмана получаются как частный случай из рассмотрения Гиббса при введении соответствующих предположений о форме Гамильтониана в уравнении Лиувилля для плотности вероятности рассматриваемой системы. Именно таким образом происходит рассмотрение кинетических процессов в книгах по неравновесной статистической механике.
С другой стороны, опора на вероятностное обоснования Больцмана для возрастания энтропии изолированной системы позволяет избежать обсуждения точной энтропии Гиббса. Тем самым снимается субъективность энтропии, а также необходимость рассмотрения перемешивания. Доказательство в духе Больцмана остается главым в научно-популярных книгах физиков (см. ‘Стрела времени по Больцману‘) и оно противопоставляется методу Гиббса в статьях ряда физиков. Приведу высказывание из заключения статьи теоретических физиков ‘Энтропия Гиббса и Больцмана в классической и квантовой механике‘:
‘Энтропия Гиббса является эффективным инструментом для вычисления значений энтропии в тепловом равновесии применительно к гиббсовским равновесным ансамблям, но фундаментальным определением энтропии является энтропия Больцмана. Мы обсудили статус двух понятий энтропии и соответствующих им двух понятий теплового равновесия — точек зрения «ансамбля» и «индивидуальной системы». Ансамбли Гиббса очень полезны, в частности, поскольку они позволяют эффективно вычислять термодинамические функции, но их роль может быть понята только в рамках программы Больцмана рассмотрения индивидуальной системы.’
В бОльшей степени эта точка зрения драматизируется в работах современных философов физики, которые стремятся найти идеальное обоснование статистической механики. Приведу цитаты из статьи ‘Философия статистической механики‘ (BSM и GSM — статистическая механика Больцмана и Гиббса соответственно):
‘философское обсуждение в области статистической механики сталкиваются с непосредственными трудностями, поскольку, в отличие от других теорий, статистическая механика еще не нашла общепринятой теоретической основы или канонического формализма.’
‘нельзя не признать, что BSM в основном используется в обсуждения оснований, но именно GSM является рабочей лошадкой практиков. Когда физикам приходится проводить расчеты и решать проблемы, они обычно обращаются к GSM, который предлагает удобные стратегии, отсутствующие в BSM. Таким образом, либо BSM необходимо дополнить практическими рекомендациями, либо ее необходимо подключить к GSM, чтобы она смогла использовать преимущества вычислительных методов.’
С моей точки зрения рассмотрение энергии Гиббса должно быть полезным при обсуждении отличия между физикой как таковой и философской позицией, связанной с вопросом, как устроен мир. Так, книга Зубарева с соавторами без всякого сомнения относится к физике — она посвящена поиску необходимых распределений при решении определенных задач. Доказательства математиков также полезны для развития физики, хотя, как всегда, под вопросом остается соответствие исходных положений доказательства рассматриваемой задаче в физике.
С другой стороны, вряд ли утверждение о сущности энтропии как незнания можно отнести к физике, поскольку это уже выглядит переходом к определенной философской позиции. Точно также в программе ‘Назад к Больцману’ не видно серьезных обоснований. Предложенная идея сортировки всех микросостояний по макросостояниям в фазовом пространстве исходит из вероятностного обоснования второго закона Больцмана. Однако такая возможность была продемонстрирована только для случая идеального газа. В статье теоретических физиков и в рассмотрении философов я не нашел доказательств возможности переноса такого рассмотрения на все возможные случаи. Без этого предложенная программа вряд ли может быть отнесена к собственно физике.
Далее: И. Р. Пригожин: Конец определенности
Информация
Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов, Г. Рёпке, Статистическая механика неравновесных процессов, 2002.
Р. Р. Мухин, Развитие концепции динамического хаоса в СССР. 1950-1980-е годы, 2010.
Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz, Roderich Tumulka, and Nino Zanghì. Gibbs and Boltzmann entropy in classical and quantum mechanics. In Statistical mechanics and scientific explanation: Determinism, indeterminism and laws of nature, pp. 519-581. 2020.
Roman Frigg and Charlotte Werndl, Philosophy of Statistical Mechanics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2023.
Обсуждение
»