Арезу Ислами в статье ‘Несостоявшийся союз: о применимости математики в физике‘ обращается к известной статье физика Вигнера ‘Непостижимая эффективность математики в естественных науках‘. Вывод Ислами доказывает справедливость известного — классиков охотно цитируют, но при этом не читают.
В статье Ислами я увидел внутреннюю логику и это сподобило меня прочитать статью Вигнера, про которую я, конечно, слышал, но никогда до этого не читал. Действительно, несмотря на громкое название и несколько эмоциональных высказываний в начале и в конце статьи само содержание крайне сдержанное. В статье не защищается ни математический платонизм, ни тем более пифагореизм. Более того, в статье обсуждается интересный вариант ответа, почему законы физики с использованием математических уравнений столь успешно работают на практике.
Начну с описания из статьи Ислами контекста появления статьи Вигнера, поскольку это дает представление, для кого было предназначено выступление Вигнера:
‘Вигнер был выбран для чтения самой первой лекции из цикла лекций, проводимых раз в два года, — «Лекции по математическим наукам имени Ричарда Куранта» — в Нью-Йоркском университете. Они были профинансированы в качестве подарка от друзей Ричарда Куранта в честь его 70-летия.’
‘Вигнер читает лекцию перед определенной аудиторией, собравшейся, чтобы отметить видение Куранта: математика изобретена математиками непринужденно и гармонично.’
‘Первую, и наиболее слабо разработанную часть лекции Вигнер посвящает математике. Он следует логике книги Куранта «Что такое математика» …’
Для иллюстрации сказанного приведу начало раздела ‘Что такое математика?‘ из лекции Вигнера:
‘Кто-то сказал однажды, что философия — это просто злоупотребление терминологией, придуманной как раз для этой цели. В этом же духе я бы сказал, что математика является наукой изощренного манипулирования понятиями и правилами, придуманными как раз для этой цели. Главное ударение стоит именно на изобретении понятий.’
При переходе к физике и к использованию математики в физике характер рассмотрения меняется — появляется содержательное обсуждение природы законов физики. Вигнер начинает с того, что область применимости законов физики достаточно ограничена:
‘Окружающий нас мир ужасающе сложен, и наиболее очевидным фактом является наша неспособность предсказывать будущее. … По замечанию Шрёдингера чудом является уже то, что, несмотря на всю сложность мира, можно все-таки открывать определенные закономерности событий.’
‘наиболее значительным утверждением в этой связи является то, что все эти законы природы даже в самых далеко идущих следствиях содержат лишь небольшую долю того, что содержит в себе неживая природа. Все законы природы являются лишь условными утверждениями, позволяющими предсказывать некоторые будущие события на основе знания состояния природы в данный момент, исключая некоторые аспекты этого состояния, пренебрежимые с точки зрения этого предсказания (хотя практически при этом игнорируется подавляющее большинство характеристик подлинного состояния природы).’
Согласно Вигнеру законы физики отделены от начального состояния и поэтому их нельзя использовать для объяснения, почему сложилось то или иное начальное состояние. Например:
‘классическая механика — наиболее известный образец физической теории — позволяет определить вторые производные от координат всех тел (ускорения), если известны положения (координаты) и импульсы этих тел. Классическая механика не дает никакой информации о существовании этих тел, их расположении и скоростях в начальный момент.’
Противопоставление начальных условий и инвариантности законов физики лежит в центре обсуждения Вигнера. Ислами в этом отношении подчеркивает, что Вигнер получил Нобелевскую премию в том числе за ‘за открытие и применение фундаментальных принципов симметрии’. Ислами говорит, что инвариантность в физике обсуждалось давно, но ей придавалась вторичная роль. Эйнштейн использовал инвариантность при построении теорий относительности, но это не повлияло на другие теории физики. Поэтому работы Вигнера по инвариантности в квантовой механике оказали большую роль по изменению отношения физиков к роли инвариантности в физике.
Ислами приводит хорошую цитату из статьи Вигнера 1949 года ‘Инвариантность в физической теории‘:
‘Мир очень сложен, и человеческий разум явно не в состоянии полностью постичь его. Именно поэтому человек придумал искусственный прием — в сложной природе мира винить то, что принято называть случайным (accidental), — и таким образом смог выделить область, которую можно описать с помощью простых закономерностей. Сложности получили название начальных условий, а то, что абстрагировано от случайного, — законов природы. Каким бы искусственным ни казалось подобное разбиение структуры мира при самом беспристрастном подходе и даже вопреки тому, что возможность его осуществления имеет свои пределы, лежащая в основе такого разбиения абстракция принадлежит к числу наиболее плодотворных идей, выдвинутых человеческим разумом. Именно она позволила создать естественные науки.’
Вигнер в статье про математику и физику отталкивается от этого рассмотрения. Он переводит вопрос о связи математики с миром к вопросу о связи математики с физикой, который в свою очередь связывается с особенностью разбиения на начальные условия и инвариантность оставшихся законов физики. В статье Ислами на этот счет приводятся высказывания других физиков.
Мне понравилось такое рассмотрение. Действительно, объекты изучения физики связаны со случаями, когда можно либо задать начальное состояние изучаемой системы, либо его измерить. Сходу пришла такая идея — можно связать отличие живого от неживого с невозможностью задания или измерения начального состояния для живого. Тем самым вводится историчность развития, которая в случае неживых объектов тем или иным способом сводится к последовательности физических процессов.
В рассмотрении Вигнера загадка использования математики в физике остается в связи с достигаемой точностью при проведении измерений. Вигнер приводит несколько примеров, я выпишу только случай становления квантовой механики:
‘Чудо произошло лишь тогда, когда матричная механика или математически эквивалентная ей теория (Щрёдингера) была применена к задачам, для которых вычислительные правила Гейзенберга не имели смысла. … расчет низшего (основного) уровня гелия, выполненный несколько месяцев спустя Киношитой и Бейсли, согласовался с экспериментальными данными в пределах погрешности наблюдений, которая составляет менее одной десятимиллионной. … Мне вспоминается разговор с Йорданом, сказавшим мне в то время, когда эти качественные характеристики спектров были получены, что отличие правил, полученных из квантовой теории, от эмпирических было бы последним шансом внести изменения в структуру матричной механики. Иными словами, Йордан чувствовал, что, если бы мы неожиданно получили несогласие теории атома гелия с опытом, мы оказались бы по крайней мере на время совершенно бессильными. Теория атома гелия была в то время разработана Келлнером и Хиллераасом. Математический аппарат их теории был достаточно четким и не подлежал изменению; поэтому, не произойди упомянутое чудо с гелием, физика оказалась бы перед лицом кризиса.’
Это обстоятельство служит контекстом для метафоры Вигнера о математических представлениях как связке ключей, а также постановкой нового вопроса:
‘Мы похожи на человека со связкой ключей, который, пытаясь открывать одну дверь за другой, всегда находит правильный ключ с первой или второй попытки. Это заставляет его сомневаться относительно взаимно-однозначного соответствия между ключами и замками.’
Таким образом, заключительная часть лекции Вигнера посвящена рассмотрению вопроса о единственности теории физики, которая дает хорошее описание экспериментальных данных. Конечно, на этот вопрос в статье нет четкого ответа, но надо отметить, что Вигнер также приводит примеры, когда неправильная теория также позволяла неплохо описать данные.
В заключение приведу высказывание Вигнера про роль комплексных чисел в квантовой механике:
‘Не стоит забывать, что гильбертово пространство квантовой механики является комплексным гильбертовым пространством, скалярное произведение в котором эрмитово. Неискушенному уму комплексные числа не покажутся естественными или простыми, а результаты физических наблюдений сами по себе не могут содержать комплексные числа. Более того, использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики.’
Оно хорошо подходит к ведущемуся в настоящее время обсуждению о роли комплексных чисел в квантовой механике — отражают ли они физический смысл или нет. Как видно, Вигнер не сомневался, что комплексные числа связаны с физическим смыслом уравнений квантовой механики.
Информация
Arezoo Islami, A match not made in heaven: on the applicability of mathematics in physics. Synthese 194, no. 12 (2017): 4839-4861.
Е. Вигнер, Непостижимая эффективность математики в естественных науках. Успехи физических наук 94, no. 3 (1968): 535-546.
О роли комплексных чисел в квантовой механике:
Существуют ли комплексные числа? Сабина Хоссенфельдер о роли комплексных чисел в квантовой механике. Статья физиков об эксперименте для подтверждения важности комплексной математики, а также ее опровержение.
Дополнительная информация
Физики о математике: Подборка высказываний физиков о математике. Фейнман, Смолин, Хоссенфельдер, Грин, Вайнберг, Кэрролл, Дойч, Попов, Вонсовский, Гейзенберг, Эйнштейн, Тегмарк, российские физики о метафизике.
Заколдованная математика в расколдованном мире: О статье Владислава Шапошникова ‘Двуликий Янус: образы математики в зеркале истории‘, в которой проведен обзор статуса математики по ходу истории. То ли математика является служанкой науки, то ли госпожой.
Уловка или правда: Загадочная связь между физикой и математикой: Книга с эссе победителями конкурса Институт фундаментальных вопросов. Обзор ответов на поставленный вопрос. В конце разбор аргумента Буровых в пользу креационизма.