Ершов и Целищев: Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании

Просмотрел книгу Ю. Л. Ершов, В. В. Целищев, Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании. Центральной темой книги является вопрос о том, можно ли на основании теоремы Гёделя о неполноте сделать заключение о принципиальной разнице между человеком и роботом. На одной стороне выступают менталисты (да), на другой механицисты (нет).

История началась со статьи философа Д. Р. Лукаса Разум, машины и Гёдель (1961 год), в которой на основе теоремы Гёделя обосновывалось приниципиальное отличие человека от машины. В целом математики скептически отнеслись к заявлению Лукаса и можно сказать, что Лукас разбудил только одного человека, известного физика Роджера Пенроуза. В книгах Новый ум короля (1989) и Тени разума (1994) Пенроуз существенно расширил аргументы Лукаса. Несмотря на свои заслуги в области физики Пенроуз не является специалистом в области математической логики. Поэтому изначально его аргументы также не вызвали особого интереса у настоящих знатоков математики. Основные баталии начались после публикации в 1995 году третьего тома рукописей самого Гёделя, когда стало ясно, что Гёдель также придерживался точки зрения о принципиальном отличии человека от машины.

Книга написана крайне обстоятельно (500 стр). Первая половина книги посвящена вопросу о том, что такое вычислимость, что такое доказательство, что такое интуиция, что такое рациональность, как вычислимость связана с основаниями математики и как математические вычисления связаны с математическим доказательством. Подробно рассмотрены тезисы Тьюринга и Чёрча. Для меня стала неожиданностью столь близкая связь вычислимости и рекурсивных функций. Можно сказать, что понятие вычислимости эквивалентно понятию рекурсивных функций. Книгу вполне можно читать, но должен сказать, что периодически авторы приводят доказательства, что в свою очередь регулярно приводило к ощущению своей неполноценности.

Теорема Гёделя и связанные с ней аргументы менталистов и механицистов рассматриваются во второй половине книги. Рассмотрение также обстоятельно. Подробно приводится аргументация с обоих сторон. Во второй половине книги Ершов и Целищев рассматривают большее количество теорем и доказательств и я ограничился только тем, что постарался проследить главную линию обсуждения.

Мое понимание ситуации такое. В ходе аргументов менталистов истина и доказательство разводятся между собой. Оказывается, что человек может понять истину непосредственно и ему для этого не требуется доказательства. Можно сказать, что менталисты находятся на позициях математического платонизма, в особенности это относится к Гёделю. Истина в данном случае сводится к соотвествию математического утверждения с тем, что находится в Платонии, при этом математик обладает способностью непосредственного доступа к содержанию Платонии.

С другой стороны, механицисты настаивают на том, что математическая истина с неоходимостью связана с доказательством: нет доказательства, нет истины. На этом пути разница между математиком и компьютером пропадает. Мне понравилась приведенная в книге цитата из статьи H. Gaifman:

‘И если именно это имеет место, тогда мы (математики) являемся машинами, которые неспособны осознать тот факт, что они — машины. Как часто говорят, если бы наши мозги могли понять, как они работают, они были бы гораздо умнее, чем они есть. Гёделевский результат неполноты обеспечивает нас в этом случае твердыми основаниями нашей неспособности, потому что показывает, что это математическая необходимость. Итог всего этого навязчиво напоминает концепцию Спинозы, согласно которой человек является предопределенным созданием, который выводит свое чувство свободы из своей неспособности постичь собственную природу. Человек, а именно сам Спиноза, может осознать эту общую истину, но человек может не знать, как это предопределение работает, т.е. знать полной теории. Точно так же мы можем радоваться возможности того, что все наше математическое мышление подчинено некоторой компьютерной программе, но мы никогда не узнаем, как эта программа работает. Потому что если бы мы знали это, тогда мы могли бы провести диагонализацию и получить противоречие.’

В целом заключение Ершова и Целищева такое:

‘Гёделевский аргумент о превосходстве человека, который использует теоремы Гёделя о неполноте, возможно, не является релевантным в данном вопросе [сопоставление человеческого мышления с искусственным интеллектом]. Нами, как мы надеемся, это показано практически, поскольку все рассмотренные аргументы говорят о том, что гёделевский аргумент не ведет к твердому заключению в пользу ментализма. Надо отметить, что сторонники гёделевского аргумента становятся все более изобретательными — аргументы Р. Пенроуза чрезвычайно изобретательны по сравнению с довольно прямолинейной атакой Дж. Лукаса. И по большому счету, исход спора между менталистами и механицистами в плане гёделевского аргумента пока ничейный, что не в последнюю очередь обусловлено глубокими соображениями главного менталиста, а именно Гёделя.’

В заключение отмечу, что Ершов и Целищев не считают, что человек эквивалентен искусственному интеллекту. Тем не менее, они полагают, что в рамках теоремы Гёделя о неполноте разницу обосновать нельзя.

Цитаты из книги

‘Рассмотрим арифметическое утверждение, которое считается достаточно простым: 2 + 2 = 4. Это же утверждение в контексте оснований математики представляется весьма сложным. Н. Бурбаки в первой части «Теория множеств» своего трактата говорит, что такие «очевидные» утверждения требуют сотен предварительных страниц, заполненных логическими определениями и выводами.’

Обсуждение: https://evgeniirudnyi.livejournal.com/168166.html

‘Теперь мы хотим спросить, можно ли доказать, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5? И тут нас подстерегает шок: нет, нельзя. Или для перестраховки: если может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, тогда может быть доказано также, что 2 + 2 = 5, и математика есть просто нонсенс. На самом деле, если математика — не чепуха, то никакого утверждения формы «X не может быть доказано» не может быть доказано. Поэтому, если математика не чепуха, тогда, хотя не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, не может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5. Может быть доказано, что если может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, тогда может быь доказано, что 2 + 2 = 5.’

Обсуждение: https://evgeniirudnyi.livejournal.com/168242.html

Информация

Ю. Л. Ершов, В. В. Целищев, Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании, 2012.

Статья, из которой взята цитата про математиков

Gaifman, H., 2000. What Gödel’s incompleteness result does and does not show. The Journal of Philosophy, 97(8), pp.462-470.

Обсуждение по-английски: https://groups.google.com/d/topic/everything-list/GA475BdPPwM/discussion

Обсуждение

https://evgeniirudnyi.livejournal.com/168877.html


Comments are closed.