История матанализа

Стивен Строгац позиционирует свою книгу ‘Бесконечная сила‘ как матанализ для гуманитариев. Действительно, базовые идеи анализа изложены на пальцах; никогда не мог бы подумать, что такое возможно. Не могу сказать, насколько это окажется эффективным для гуманитариев, но мне это помогло освежить дела давно минувших дней  и даже улучшить понимание ряда вещей. По специальности автор книги — прикладной математик и в книге много интересных примеров применения анализа к самым разных проблемам.

Ниже я выпишу информацию из истории анализа, которая дана в книге в интересной и любопытной форме. Должен сказать, что это не книга по истории науки как таковой, последняя возникает только в связи с логикой развития анализа. Но в данном случае именно это обстоятельство вызвало мой интерес.

Архимед (287–212 до нашей эры). Площадь круга с использованием предела. Вычисление верхней и нижней границы для пи. Площадь сегмента параболы.

‘Возможно, Архимед был потрясающим конструктором боевых машин и, несомненно, блестящим ученым и инженером, но по-настоящему в пантеон великих его вводят достижения в математике. Он проложил путь к интегральному исчислению. Глубочайшие идеи, содержащиеся в его работах, больше не встречались почти два тысячелетия. Сказать, что он опередил свое время, — значит ничего не сказать. Кто-нибудь опережал свое время настолько?’

Следующий шаг — постепенный переход от геометрии к алгебре:

‘Около 250 года нашей эры китайский геометр Лю Хуэй усовершенствовал метод Архимеда для вычисления числа π. Спустя два столетия Цзу Чунчжи использовал метод Ли Хуэя для многоугольника с 24 576 сторонами. Совершив по тем временам героические вычислительные подвиги, он сузил границы для π до восьми цифр.’

‘Следующий шаг потребовал еще пяти столетий и был сделан арабским мудрецом Абу Али аль-Хасаном ибн аль-Хайсамом, известным на Западе как Альхазен. Он родился в Басре (Ирак) примерно в 965 году и работал в Каире во время золотого века ислама, занимаясь всем — от теологии и философии до астрономии и медицины. В своих работах по геометрии Ибн аль-Хайсам вычислял объемы тел, которые Архимед никогда не рассматривал. Но какими бы впечатляющими ни были эти достижения, они были редкими признаками жизни для геометрии, да и ушло на них двенадцать столетий.’

‘В течение того же длительного периода в алгебре и арифметике наблюдался быстрый и существенный прогресс. Индийские математики изобрели понятие нуля и десятичную позиционную систему счисления. В Египте, Ираке, Персии и Китае появились алгебраические методы решения уравнений.’

‘В Европе изучение алгебры как самостоятельной символьной системы стало процветать в эпоху Возрождения и достигло пика примерно в 1500 году, когда она приняла современный вид — с буквами для обозначения цифр.’

‘Незадолго до того как геометрия скооперировалась с алгеброй, прозвучало последнее «ура!» в честь геометрических методов старой школы Архимеда. В начале XVII века Кеплер нашел объем криволинейных тел (типа винных бочек и бубликов), мысленно представляя их разрезанными на бесконечно тонкие диски, в то время как Галилей и его ученики Эванджелиста Торричелли и Бонавентура Кавальери аналогичным образом вычисляли площади, объемы и положения центра тяжести различных форм — представляя их состоящими из бесконечных множеств линий и поверхностей.’

Десятичные дроби:

‘Не менее серьезный прогресс произошел в области арифметики, когда Симон Стевин (1548 — 1620) в Голландии показал, как использовать десятичные дроби. При этом он разрушил старое аристотелевское различие между числами (означавшими целое количество неделимых единиц) и величинами (непрерывными количествами, которые можно было делить до бесконечности). … Как только единица перестала быть священной и неделимой, все величины — целые, дробные иррациональные — слились в единое семейство чисел на равных основаниях. В результате анализ получил бесконечно точные действительные числа, необходимые для описания пространства, времени, движения и изменений.’

Рассмотрение движения:

Галилей — размышления о мгновенной скорости, но Галилей не смог ее точно определить. Рассмотрение движения маятника, но опять же Галилей не смог найти теоретического обоснования.

Кеплер — законы движения планет.

Аналитическая геометрия — Рене Декарт и Пьер де Ферма. Колоритная характеристика Декарта:

‘Рене Декарт (1596–1650) [6] был одним из самых амбициозных мыслителей всех времен. Дерзкий, интеллектуально бесстрашный и презирающий авторитеты, с раздутым эго, не уступавшим по масштабам его гению. Например, о греческом подходе к геометрии, который почитали все математики в течение двух тысяч лет, он пренебрежительно писал: «То, чему нас учили древние, настолько скудно и по большей части настолько ненадежно, что единственный подход к истине, на который я могу надеяться, — отказаться от всех путей, которыми они следовали». Что касается личных качеств, то он мог быть подозрительным и обидчивым. На самом известном его портрете изображен человек с изможденным лицом, надменными глазами и ехидными усиками. Очень похож на мультяшного злодея.’

Декарт против Ферма:

‘когда Декарт услышал через Мерсенна, что некий тип в Тулузе — какой-то любитель по имени Ферма — утверждает, что разработал метод аналитической геометрии на десять лет раньше него и что тот же самый любитель (да кто он вообще такой?!) поставил под сомнение его теорию оптики, ученый счел, что ему в очередной раз строят козни. В последующие годы он яростно сражался с Ферма и пытался погубить его репутацию. В конце концов, Декарту было что терять. В «Рассуждении» он утверждал, что его аналитический метод — единственный истинный путь к знанию. И если Ферма мог превзойти его, даже не пользуясь его методом, то весь его проект оказывался под угрозой. Декарт безжалостно чернил Ферма и в какой-то степени в этом преуспел. Работы Ферма до 1679 года никогда должным образом не публиковались.’

Следует отметить, что аналитическая геометрия кажется нам естественной, но требовалось поломать существующие представления, сложившиеся со времен греков:

‘Числа представлены в виде точек на какой-то прямой. Арифметика соединена с геометрией, причем еще до того, как мы наносим какие-то данные! Древние греки просто бы истошно орали при таком нарушении протокола. Для них числа означали исключительно дискретные количества, например целые числа и дроби. Напротив, непрерывные количества, такие как длина какой-нибудь линии, считались величинами — принципиально другими сущностями, отличными от чисел.’

‘Ферма и Декарт начали с рассмотрения квадратных уравнений. В них, кроме констант (например, 200) или линейных членов x и y, должны быть переменные во второй степени, то есть квадратичные члены, такие как x^2, xy или y^2. Возведение в квадрат традиционно интерпретировалось как поиск площади, то есть x^2 означало площадь квадрата со стороной x. В древности площадь считалась величиной, принципиально отличной от длины или объема. Однако для Ферма и Декарта было всего лишь еще одним действительным числом; это означало, что его можно отобразить на числовой прямой — ровно так же, как x, x^3 или любую иную степень x.’

Дифференциальное исчисление: Ньютон и Лейбниц. История известная, поэтому только одна цитата про неожиданное неприятное совпадение:

‘Не только артикли, но и само слово calculus может рассказывать интересные истории. Оно происходит от латинского корня calx, означающего маленький камешек — напоминание о тех временах, когда ученые использовали камешки для подсчета, а значит, и для вычислений. Этот же корень дает такие слова, как calcium (кальций) и chalk (мел). Ваш дантист может применять это слово для обозначения зубного камня. Врачи употребляют его для желчных камней, камней в почках или в мочевом пузыре. По иронии судьбы, оба пионера анализа — и Ньютон, и Лейбниц — умерли в мучительных болях, страдая от камней: у Ньютона были камни в мочевом пузыре, а у Лейбница — в почках…’

В заключение отмечу слабость книги с точки зрения философии математики. Например, по ходу книги говорится то об открытии математических истин, то об их изобретении. Автор изначально критикует актуальную бесконечность и предлагает оставаться в рамках потенциальной бесконечности. Однако актуальная бесконечность является уже частью современной математики. Более того, при разборе парадоксов Зенона при предлагаемой позиции следовало бы сказать, что Ахиллес догоняет черепаху только потенциально, но не актуально.

Также взгляд на автора книги на физику отличается от того, что говорят сами физики. В этом смысле вторую часть названия книги ‘Как математический анализ раскрывает тайны Вселенной‘ не следует воспринимать всерьез. Анализ чрезвычайно важен для современной физики, но не следует ожидать от этой книги раскрытия связи между математикой и физикой.

Информация

Стивен Строгац, Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны Вселенной, 2021.

На английском: Steven Strogatz, Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe, 2019.

Обсуждение

https://evgeniirudnyi.livejournal.com/290079.html


Comments are closed.