Ранее: Признание реальности молекул в начале 20-ого века
Содержание: Термодинамика
В книге ‘Идентичность в физике: исторический, философский и формальный анализ‘ современные метафизики ломают голову при размышлении об онтологии, соответствующей принципиально неразличимым частицам в квантовой механике. Такое противоречит метафизическому принципу тождества неразличимых Готфрида Лейбница, поэтому надо либо каким-то образом приписать идентичность неразличимым частицах, либо строить метафизику без тождества неразличимых. Кстати, это еще одна причина неадекватности атомизма 19-ого века в духе летающих бильярдных шаров.
Неразличимость впервые появилась в статистике, использованной Максом Планком в статье 1900 года для обоснования уравнения плотности энергии черного тела. Правда, у Планка неразличимость квантов энергии присутствовала еще в неявном виде и потребовались время для осознания этого факта; решающей на пути оформления идеи неразличимости в явном виде оказалась статья Шатьендраната Бозе 1924 года. Интересно отметить, что при преподавании физики часто говорится, что Планк предложил свое уравнение при поиске решения для ультрафиолетовой катастрофы. На самом деле ультрафиолетовая катастрофа разразилась и завершилась позже — в период с 1905 до 1910 года.
Одинаковость атомов предполагается уже в молекулярно-кинетической теории на основе классической механики. Так, добропорядочный христианин Джеймс Максвелл в конце лекции ‘Молекулы‘ в 1873 году (Nature, Sept. 1873, 437-441) не смог удержаться от восхваления Того, кто смог создать такие удивительно одинаковые молекулы во всей вселенной; Максвелл был уверен, что природные процессы на такое в принципе не способны. Однако, в уравнениях классической механики частицы различимы, поскольку уравнения записываются для пронумерованных частиц, каждая из которых обладает пространственным положением и импульсом. Это аналогично ситуации, когда онтология одинаковых атомов не является проблемой для Того, кто из создал.
Людвиг Больцман в ходе разработке статистического обоснования энтропии пробовал разные способы подсчета числа состояний, но в конце концов осталась статистика Больцмана в предположении различимости частиц (статья 1877 года), когда пермутация двух частиц, находящихся в разных ячейках, приводит к новому состоянию. Следует отметить, что Больцман использовал дискретизацию по координатам и импульсам частиц для подсчета числа состояний, но считалось, что такое квантование состояний носило технический характер и что в дальнейшем можно вернуться к исходным уравнениям классической механики.
Густав Кирхгоф в 1862 году ввел понятие абсолютно черного тела и доказал, что свойства излучение черного тела не зависит от материала стенок. Йозеф Стефан в 1879 году на основе обобщения экспериментальных данных предложил форму зависимости интегральной плотности энергии черного тела от температуры, а Больцман в 1884 году на основе классической термодинамики теоретически ее обосновал (закон Стефана-Больцмана).
Вильгельм Вин в 1893 году расширил подход Больцмана для вывода уравнения плотности энергии черного тела как функции частоты волны и температуры, но отсутствовало должное теоретическое обоснования полученного уравнения. Сорокалетний Макс Планк в 1897 году поставил своей целью найти строгий теоретический вывод уравнения плотности энергии черного тела. Как пишут, в первую очередь Планка привлекла универсальность этой функции, тем самым задача носила фундаментальный характер. Программа исследования включала использование энтропии в совокупности с заменой материала стенок полости, содержащей электромагнитное излучение, на набор гармонических осцилляторов. В силу доказательства Киргхофа эта замена не должна повлиять на функцию плотности энергии черного тела.
Планк доказал теорему о связи искомой функции плотности энергии черного излучения со средней энергии гармонического осциллятора при данной температуре, а далее он занимался поиском этой функции. Эту функцию можно было бы непосредственно получить из теоремы о равновероятном распределении энергии по степеням свободы молекулярно-кинетической теории (впоследствии этот путь использован Рэлеем и Джинсом), но Планк был убежден, что правильный путь связан с поиском уравнения для энтропии осциллятора. Важно отметить, что Планк до решения проблемы излучения черного тела занимался классической термодинамикой; возможно поэтому теорема о равнораспределении не вызывала у него доверия.
Кстати, в мифе об ультрафиолетовой катастрофе говорится, что лорд Кельвин в лекции 1900 года о двух облачках на горизонте обсуждал именно ультрафиолетовую катастрофу. Ничего подобного — в качестве второго облачка Кельвин рассматривал рассогласование предсказываемых значений теплоемкости по теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы с экспериментальными значениями. Кельвин в отличии от других сторонников молекулярно-кинетической теории в лекции подвергал сомнению правильность этой теоремы, поскольку он не видел возможности достижения согласия с экспериментом. Это другая возможная причина для подозрительного отношения Планка к теореме о равнораспределении молекулярно-кинетической теории. См. также заметку ‘Теорема о равномерном распределении энергии против атомизма 19-ого века‘.
Планк смог найти выражение для энтропии гармонического осциллятора, которое приводило к закону Вина, но вскоре появились новые экспериментальные результаты, которые указывали на отклонения закона Вина от эксперимента в области низких и средних частот. Планк проанализировал свой путь и нашел возможность изменений, которые давали распределение, точно согласующееся с новыми экспериментальными результатами. Однако найденное решение оставалось без должного теоретического обоснования и поэтому окончательной задачей для Планка стал теоретический вывод необходимой функции энтропии гармонического осциллятора, находящегося в равновесии с излучением черного тела.
Окончательное решение Планк представил осенью 1900 года. Он исходил из уравнения Больцмана для энтропии (энтропия пропорциональна логарифму числа состояний), но подсчет числа состояний распределения энергии по осцилляторам опирался на квантование энергии, а выбранная статистика подсчетов состояний соответствовала неразличимости квантов энергии. Важно отметить оба компонента теоретического вывода Планка для энтропии гармонических осцилляторов, находящихся в равновесии с излучением черного тела — квантование энергии и неразличимость квантов. В конце концов, одно оказалось неразрывно связано с другим, но потребовалось значительное время для осознания этого обстоятельства.
Историк спорят, понимал ли Планк, что его уравнение (как квантование, так и неразличимость) ознаменовало полный разрыв с классической механикой. Сам Планк в воспоминаниях говорил таким образом (напоминает ‘И значит нам нужна одна победа, Одна на всех — мы за ценой не постоим’):
‘теоретическое объяснение должно было быть … найдено любой ценой, и никакая цена не была бы слишком высока. … Я пришел к этой точке зрения благодаря тому, что твердо держался обоих законов теории теплоты. Эти оба закона казались мне тем единственным, что при всех обстоятельствах должно оставаться незыблемым. В остальном я был готов к любой жертве в моих прежних физических убеждениях.’
Весной 1900 года вышла статья Джона Рэлея, которая, по всей видимости, послужила причиной возникновения мифа о том, что Планк (и лорд Кельвин) боролся с ультрафиолетовой катастрофой. В статье Рэлей получил уравнение плотности энергии излучения черного тела на основе теоремы о равнораспределении, но заметив, что такое решение идет в бесконечность в области высоких частот, Рэлей без долгих размышлений умножил полученное выражение на ниспадающую экспоненту. Поэтому формально ультрафиолетовая катастрофы в этой статье еще не зародилась.
Статьи Планка и Рэлея не привлекли сразу же внимание других физиков-теоретиков и теория излучения черного тела осталась без внимания до 1905 года. В контексте различимости — неразличимости частиц важно отметить появление статистической механики Гиббса в 1902 году. Гиббс заметил, что статистика на основе различимых частиц приводит к энтропии газа, которая не пропорциональна количеству вещества (неэкстенсивная энтропия), что в свою очередь приводит к проблемам в химической термодинамике. Для разрешения Гиббс предложил ввести множитель N!, который делает частицы неразличимыми. Этот множитель сыграл важную роль в последующем обсуждении статистики идеального газа — это оказалось вторым путем размышлений физиков на пути к неразличимости частиц в квантовой механике.
С 1905 года среди физиков-теоретиков разгорелась оживленная дискуссия по поводу излучения черного тела. С одной стороны Альберт Эйнштейн в серии статей подчеркивал реальность квантов излучения, а Пауль Эренфест проверял законность вывода Планка уравнения энтропии осциллятора методом статистической термодинамики. С другой стороны, Рэлей и Джеймс Джинс в серии статей показали, что теорема о равнораспределении приводит к параболическому возрастанию энергии плотности излучения черного тела как функции частоты.
В ходе обсуждения выяснилось невозможность решения проблемы излучения черного тела в рамках классической физики. Стало ясно, что использование теоремы о равнораспределении с неизбежностью ведет к нефизическому распределению Рэлея-Джинса (ультрафиолетовая катастрофа), когда плотность энергии излучения квадратично возрастает с увеличением частоты. Джинс пытался объяснить расхождение с экспериментом вследствие недостижения равновесия между телом и излучением при высоких частотах, но такое объяснение не было принято. С другой стороны, Эренфест показал, что попытка убрать квантование энергии при расчете энтропии осциллятора по методу Планка также ведет к распределению Рэлея-Джинса. Интересно отметить, что квантование энергии в сочетании с различимостью введенных квантов приводило к закону Вина, а не к правильной плотности энергии черного тела по Планку.
Хендрик Лоренц на конференции в Риме в 1908 году предложил свой вывод для плотности энергии черного тела еще одним путем, но результат совпал с распределением Рэлея-Джинса. После конференции Эрнст Прингсгейм (Ernst Pringsheim) и Отто Люммер (Otto Lummer) написали небольшую статью, в которой они показали, что согласно распределению Рэлея-Джинса стальная пластинка должна быть видимой при комнатной температуре в темноте. Лоренц включил подобный расчет как приложение в свою книгу 1909 года и это было по сути дела концом ультрафиолетовой катастрофы (сам термин появился лишь в статье Эренфеста 1911 года). Физики пришли к окончательному заключению о невозможности в рамках классической физики дать объяснение наблюдаемой плотности энергии излучения черного тела.
Последующее развитие событий с попытками отделить идею квантования энергии от неразличимости частиц. Эйнштейн в 1907 году показал, что квантование энергии гармонического осциллятора открывает путь для решения проблемы низкотемпературных теплоемкостей твердых тел. Вальтер Нернст в 1911 году указал, что введение квантования энергии также решает проблему теплоемкостей газов в молекулярно-кинетической теории. Теорема о равнораспределении работает в пределе высоких температур, а при понижении температуры из-за квантования энергии дополнительные степени свободы как бы замораживаются — их вклад в теплоемкость становится равным нулю.
Параллельно шел поиск для правильного вывода уравнения Планка при введении квантования энергии на уровне принципа новой физики. В то же время обсуждалось статистика идеального газа в рамках введения множителя N! по Гиббсу. Таким образом квантование энергии излучения и неразличимость частиц идеального газа рассматривались независимо друг от друга. Решающей оказалась статья Бозе 1924 года, в которой был дан последовательный вывод уравнения Планка и которая дала толчок к появлению квантовых статистик Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. В конце концов рассмотрение излучения черного тела и идеального газа было объединено в рамках единого формализма, в котором вводилась принципиальная неразличимость частиц на уровне квантовой статистики.
К сожалению метафизиков уравнения квантовой статистики не позволяют сделать однозначный вывод о соответствующей онтологии. В книге предлагается один из возможных ответов, но вряд ли это завершит споры среди метафизиков. Можно только гадать, может ли Тот, кто создал принципиально неразличимые частицы, их различить.
Информация
Steven French, Décio Krause, Identity in Physics, A Historical, Philosophical and Formal Analysis, 2006.
Гельфер Я. М., История и методология термодинамики и статистической физики, 2-е изд., 1981, Глава XVII. История термодинамики и статистики теплового излучения. Возникновение квантовой теории.
Клейн, М.Д., Макс Планк и начало квантовой теории. Успехи физических наук, 1967, 92(8), pp.679-700.
S. Bergia, L. Navarro, Early quantum concepts and the theorem of equipartition of energy in Einstein’s work (1905-1925), Physis-Firenze, 1997.
Monaldi, Daniela. A note on the prehistory of indistinguishable particles. Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics 40, no. 4 (2009): 383-394.