Среди математических проблем, сформулированных Давидом Гильбертом в начале 20-ого века, шестая проблема называлась ‘Математическое изложение аксиом физики‘:
‘С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика.’
‘Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов.’
‘Об основах механики имеются значительные исследования с точки зрения физической. Укажу на сочинения Маха, Герца, Больцмана и Фолькмана. При этом было бы очень желательно, чтобы и математики взялись за исследование основ механики. На эту мысль наводит, например, книга Больцмана о принципах механики, в которой следовало бы строго математически обосновать и провести те изложенные в ней процессы предельного перехода, которые ведут от атомистического понимания к теории движения твердого тела.’
В данном случае важно отметить, что для Гильберта математика являлась частью единой науки, цель которой заключалась в познании мира. Приведу по этому поводу информацию из статьи Лео Корри ‘Шестая проблема Гильберта: между основами геометрии и аксиоматизацией физики‘. Корри начинает с отличия между программой аксиоматизации физики и попыткой доказательства Гильберта непротиворечивости арифметики. Последняя в дальнейшем получила название формализм, хотя сам Гильберт не употреблял этого термина. Согласно Корри непонимание шестой проблемы Гильберта связано с ее отождествлением с формализмом как метода обоснования математики.
Далее Корри рассматривает становление взглядов Гильберта, который помимо математики интенсивно изучал физику. Следует отметить, что во второй половине 19-ого века учеными активно обсуждалась связь математики и физики, что повлияло на взгляды Гильберта. В особенности на становление позиции Гильберта по отношению к физике оказали влияние книги и лекции Генриха Герца и Людвига Больцмана.
Отношение Гильберта к физике выразилось в первую очередь при рассмотрении геометрии; для Гильберта геометрия была естественной наукой наряду с механикой и другими физическими дисциплинами в противоположность арифметике. В введении к лекциям по геометрии в 1891 году Гильберт таким образом охарактеризовал свою позицию
‘Геометрия — это наука, изучающая свойства пространства. Она существенно отличается от чисто математических областей, таких как теория чисел, алгебра или теория функций. Результаты последних получены с помощью чистого мышления … В случае геометрии ситуация совершенно иная. Я никогда не смогу проникнуть в свойства пространства путем чистого размышления, точно так же, как я никогда не смогу таким образом распознать основные законы механики, закон всемирного тяготения или любой другой физический закон. Пространство не является продуктом моих размышлений. Скорее, оно дается мне через органы чувств.’
Эмпирический характер геометрии подчеркивало измерение Гауссом суммы углов треугольника, образованного вершинами трех гор. Гильберт считал, что эти измерения показали справедливость евклидовой геометрии, но он не исключал, что в будущем новые измерения приведут к другому результату. Таким образом, как в физике, в том числе в геометрии, может потребоваться изменение аксиом. Это обстоятельство также нашло свое выражение в формулировке шестой проблемы Гильберта:
‘Далее, кроме физических методов изучения задачи, перед математиком всякий раз возникает задача — точно доказать, что вновь присоединенная аксиома не находится в противоречии с прежними аксиомами. Физик часто находится во власти результатов своего эксперимента, с помощью которого и во время которого он вынужден в развитии своей теории делать новые допущения; при этом в отсутствии противоречия вновь принятого допущения с прежними его убеждает только или сам эксперимент, или некоторая физическая интуиция — обстоятельство, которое при строго логическом построении теории недопустимо. Доказательство непротиворечивости всех принятых допущений кажется мне очень важным, поскольку само стремление провести такое доказательство наиболее действенно побуждает нас к точной формулировке аксиом.’
Приведу еще пару цитат Гильберта из курса лекций по геометрии 1893 — 94 годов, которые показывают связь его взглядов с философией науки Герца:
‘Тем не менее, истоки [геометрических знаний] лежат в опыте. Аксиомы — это, как сказал бы Герц, образы или символы в нашем сознании, так что следствия из этих образов снова являются образами следствий, то есть то, что мы можем логически вывести из этих образов, само по себе является допустимым в природе.’
‘Проблему можно сформулировать следующим образом: каковы необходимые, достаточные и взаимно независимые условия, которые должны быть установлены для системы объектов, чтобы любое из свойств этих объектов соответствовало геометрическому факту и, наоборот, чтобы было возможно полное описание и упорядочение всех геометрических фактов посредством этой системы объектов.’
При этом аксиомы геометрии согласно Гильберту должны ‘выражать наблюдения фактов опыта, которые настолько просты, что не нуждаются в дополнительном подтверждении физиками в лаборатории’. В курсе лекций 1899 года Гильберт таким образом описывал отличие между геометрией и механикой:
‘Геометрия также [как и механика] возникает из наблюдений за природой, из опыта. В этом смысле это экспериментальная наука … Но ее экспериментальные основы настолько неопровержимы и общепризнанны, они были подтверждены до такой степени, что в дальнейших доказательствах нет необходимости. Более того, все, что требуется, — это вывести эти основы из минимального набора независимых аксиом и, таким образом, построить все здание геометрии чисто логическими средствами. Таким путем [т.е. с помощью аксиоматической трактовки] геометрия превращается в чистую математическую науку. В механике все физики также признают основные факты. Но соединение основных понятий все еще подвержено изменениям … и поэтому механику сегодня еще нельзя представить как чисто математическую дисциплину, по крайней мере, в той же степени как геометрию.’
Гильберт выпустил книгу ‘Основы геометрии‘ (Grundlagen der Geometrie) в середине 1899 года. В ней были изложены идеи из его курса лекций, среди которых особенно подчеркивалась связь математики и физики. Таким образом именно эта книга легла в основу шестой проблемы, сформулированной в 1900 году. Выбор аксиом геометрии Гильбертом был связан не с максимально простой математической структурой, а с отражением интуиции пространства. Аксиомы считались связью с миром и тем самым они должны были обеспечить, что последующее математическое построение также имеет отношение к миру.
Книга Гильберта вызвала обсуждения среди математиков; в статье Корри выделена переписка между Гильбертом и Фреге. Корри приводит интересную цитату из этой переписки, в которой Гильберт обсуждает проблему изоморфизма — когда математическое построение, сделанной при рассмотрении одной физической проблемы может быть использовано при рассмотрении совершенно других задач:
‘Все утверждения теории электричества, конечно, справедливы для любой другой системы объектов, которая заменяет понятия магнетизма, электричества и т.д., при условии соблюдения исходных аксиом. Но упомянутое мной обстоятельство никогда не может быть недостатком теории [примечание: это скорее огромное преимущество], и оно в любом случае неизбежно. Однако, на мой взгляд, применение теории к миру явлений всегда требует определенной меры доброй воли и тактичности: например что мы используем точки для минимальных тел, а линии для самых длинных, например, лучей света. В то же время, чем более развита теория и чем более четко сформулирована ее структура, тем очевиднее ее применение в мире явлений, и требуется немало злого умысла [ill will], чтобы захотеть применить более тонкие положения [теории поверхностей] или теории электричества Максвелла в других проявлениях, отличных от тех, для которых они предназначались …’
Важно отметить, что Гильберт сам продолжил работу над аксиоматизацией физики. В 1905 году в курсе лекций по аксиоматическому методу был включен обзор перспективы аксиоматизации в механике, термодинамике, теории вероятностей, кинетической теории, математике страхования, электродинамике и даже психофизике. В 1915 году и в 1924 году Гильберт сделал сообщения ‘Основания физики‘. Пожалуй, лучше всего такое видение отношений между математикой и физикой выражено в известном докладе Гильберта в 1930 году на съезде Общества немецких естествоиспытателей и врачей ‘Познание природы и логика‘ — см. заметку ‘Давид Гильберт: Мы должны знать — мы будем знать!‘.
Далее: Марио Бунге: Гимн аксиоматике в физике
Информация
Leo Corry, Hilbert’s sixth problem: between the foundations of geometry and the axiomatization of physics. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 376, no. 2118 (2018): 20170221.