Измерение в физике соединяет вместе математику, физику и мир. В то же физики обычно обсуждают практический вопрос, как провести измерение, а вопросы стандартизации отданы метрологии. Как следствие в философии науки вопрос ‘Что такое измерение в физике?’ не вызывает особого интереса.
Пионером теории измерений считается Герман Гельмгольц — в 1887 году он посвятил этому вопросу эссе ‘Счёт и измерение‘. Эрнст Мах далее ввел понятие ‘принцип координации’, при использовании которого можно более четко описать процесс приписывания численного значения результату измерений. Пьер Дюгем в свою очередь показал связь измерения с теорией физики, он ввел в рассмотрение понятие ‘идеальный прибор’. Комбинация взглядов Маха и Дюгема с моей точки зрения приводит к разумной позиции, которую можно использовать в настоящее время.
В статье историка Дарриголя ‘Число и мера: Герман фон Гельмгольц на стыке математики, физики и психологии‘ неплохо представлена атмосфера того времени, что помогает лучше понять устремления Гельмгольца:
- Появление неевклидовых геометрий потребовало переосмысление связи аксиом и мира. Согласно Гельмгольцу геометрия являлась экспериментальной наукой; аксиомы геометрии связаны с опытом.
- Не существовало общепринятой аксиоматизации арифметики. В то же время уже появились математические монстры — непрерывные функции, не имеющие производных во всех точках.
- Обсуждение возможности измерений в психологии.
- Экстенсивные и интенсивные величины. Температура как пример физической интенсивной величины.
Для дальнейшего изложения отмечу только последний пункт. Джеймс Максвелл в книге ‘Теория тепла‘ в 1871 году при рассмотрении температуры сформулировал положения, которые в настоящее время идут в виде нулевого закона термодинамики. Измерение температуры отличается от измерения длины тем, что операция сложения температур теряет смысл; длина считается экстенсивным свойством, температура — интенсивным. В случае температуры следует говорить об установлении теплового равновесия между телами и о транзитивности температуры. Важно отметить, что последнее утверждение не носит логический характер, а является обобщением результатов опыта.
Гельмгольц объединил аксиоматику арифметики с проведением измерений экстенсивных величин (Гельмгольц называет их аддитивными):
‘Защищаемая мною эмпирическая теория не признающая аксиомы геометрии за недопускающие доказательства и не нуждающиеся в доказательстве положения должна быть конечно подтверждена и на происхождении арифметических аксиом, стоящих к форме воззрения времени в отношении аналогичном отношению между аксиомами геометрии и формою воззрения пространства.’
Гельмгольц также отмечает существование интенсивных физических величин, но их измерение у него зависит от измерения аддитивных величин. Таким образом у Гельмгольца основанием аксиоматизации арифметики служила возможность проведения измерения экстенсивных величин. Интересно посмотреть как он обошелся с иррациональными числами:
‘Иррациональные отношения могут встречаться в вещественных объектах, в числах они не могут никогда быть точно представлены; зато их численное значение может быть включено в произвольно тесные границы. Это сужение пределов достаточно для всех вычислений таких функций, значения которых при уменьшающихся изменениях величин, от которых они зависят, также получают все меньшие и меньшие изменения, которые могут сделаться менее сколь угодно малой величины. Именно это и имеет место при вычислении всех допускающих дифференцирование функций иррациональных величин. Напротив могут быть составлены прерывные функции, для вычисления которых не достаточно знания тех произвольно суженных пределов, между которыми лежит иррациональное значение. Для них недостаточно представления иррациональных величин системою наших чисел. Впрочем в геометрии и физике мы не встречаемся с такими видами прерывности.’
Должно быть понятно, что большинство математиков были не в восторге от аксиоматизации арифметики Гельмгольца. Так, Кантор сравнил подход Гельмгольца со взглядом математика эпохи Просвещения Луи Бертрана (Louis Bertrand); мол, числа по Гельмгольцу являются именами, которые пастухи использовали для подсчета овец. В то же время такой подход к математике нашел понимание со стороны физиков, в том числе Маха и Дюгема.
Перейду к описанию принципа координации (Zuordnungsprincip) в книге Маха ‘Принципы теории теплоты‘. Вначале отмечу, что в книге есть глава ‘Имена и числа‘, в которой одобрительно упоминается работа Гельмгольца и высказывается даже более радикальная позиция: ‘Числа также являются именами’. В следующей главе ‘Континуум‘ разбираются вопросы числовой оси с точки зрения психологии. Мах делает вывод, что введение континуума не следует воспринимать в буквальном смысле слова, скорее это следует отнести к фикциям.
В главе ‘Критика понятия температуры‘ Мах разбирает измерение температуры, при этом он разделяет понятия тепловое состояние (Wärmezustand) и температура (Temperatur). Последнее относится к показаниям термометра, то есть, температура согласно Маху есть численное значение теплового состояния. В то же время тепловое состояние является характеристикой тела — в тепловом равновесии два тела имеют одинаковые тепловые состояния. В дословном переводе это звучит неуклюже, поскольку в русском в обоих случаях принято использовать термин температура. Тем не менее, я пока оставлю терминологию Маха, поскольку это позволить лучше охарактеризовать его взгляды.
Под принципом координации Мах понимает соответствие между численными значениями и разбивкой шкалы термометра. Он отталкивается от истории термометрии, рассмотренной в его книге в предыдущей главе, и показывает, что становление температурной шкалы связано с соглашениями. Я не буду на этом останавливаться, см. мое описание истории термометрии в заметке: ‘Температура, термометр и практическая температурная шкала‘. По ходу Мах затрагивал вопрос термодинамической шкалы температур (абсолютная температура), но я не смог понять его отношение к этому вопросу.
Как бы то ни было, в отношении температурной шкалы отношение Маха можно характеризовать как конвенционализм. В целом с этим можно согласиться — выбор единицы измерения есть результат соглашения. В то же время понятие тепловое состояние тела и его транзитивность (Мах ссылается на Максвелла) связано с опытом, то есть, конвенционализм не распространяется на понятие теплового состояния. Также Мах отмечает, что измеряемая температура является функцией состояния тела. Это также результат опыта и не следует только из соглашения по поводу выбора температурной шкалы.
Таким образом, позиция Маха не сводится к операционализму, когда тепловым состоянием объявляется то, что измеряет термометр. В данном случае можно утверждать, что в результате развития термометрии удалось создать температурную шкалу, которую можно использовать для характеристики теплового состояния тела. Но само понятие тепловое состояние по Маху не зависит от принятой температурной шкалы. В моей понимании принцип координации в книге Маха звучит таким образом: численное значение температуры связано с исторически обусловленными происхождением шкалы термометра; в то же время термометр имеет тепловое состояние, которое характеризует тепловое состояние других тел при измерении температуры.
Теперь рассмотрим позицию Дюгема во второй части ‘Строение физической теории‘ книги ‘Физическая теория, её цель и строение‘. В главе ‘Количество и качество‘ Дюгем начинает с утверждения, что теоретическая физика должна быть физикой математической. Для осуществления этого проекта необходимо уметь выражать физическое свойство ‘численным символом’. Далее Дюгем рассматривает измерение длины в духе Гельмгольца и распространяет сказанное на другие экстенсивные величины; в книге Дюгема это является примером измерения количеств.
Следующий шаг — рассмотрение качеств в духе Аристотеля. Дюгем считает изгнание качеств недостатком картезианской физики и полагает, что вполне можно ввести математическую шкалу интенсивности качества. В отличие от количества в данном случае все будет опираться на операции равенства, больше и меньше; другими словами шкала служит упорядочению отношений, но при этом операция сложения не играет особой роли. Дюгем считает, что такого подхода будет достаточно для введения качеств в теоретическую физику.
Проблематика, связанная с принципом координации (Дюгем не использует этого термина), рассмотрена в главе ‘Физический опыт‘. Дюгем показывает связь проводимого опыта с теорий физики и отличие фактов в проводимом измерении от фактов на уровне наблюдения. Приведу описание Дюгемом опыта физика Анри Реньо (транскрипция в книге Ренье). Кстати, оно наглядно показывает недостижимость идеала логических позитивистов — сведения научных наблюдений к элементарным суждениям о мире:
‘Ренье изучает сжимаемость газов. Он берет известное количество газа, замкнутое в стеклянной трубке, и, поддерживая постоянную температуру, измеряет давление, которому подвергается газ, и объем, который он занимает. Вот, скажут, строго точное наблюдение известных явлений, известных фактов. Конечно, под руками и на глаза Ренье, под руками и на глазах его помощников произошли конкретный факты — в этом нет сомнения. Но заключается ли то, что внес Ренье в дело развития физики, в описании этих фактов? Нет. Ренье видел в визирном приборе, как изображение известной поверхности ртути соприкасается с известной чертой. Но разве это он записал в отчете о своих исследованиях? Нет, он записал, что газ занимает такой-то объем. Один из его помощников приподнимал и опускал трубку катетометра до тех пор, покуда изображение другого уровня ртути не коснулось определенной нити волостного перекрестка. Затем он наблюдал положение известных линий на масштабе и на нониусе катетометра. Но разве это мы находим в записках Ренье? Нет мы здесь читаем, каково давление, произведенное на газ. Другой помощник наблюдал на термометре, как уровень жидкости в нем передвигался от одной линии к другой. Но разве это он написал? Нет, мы здесь находим, что температура газа изменилось от такого-то до такого-то градуса.’
Дюгем не использует термин метрология, но его описание выше наглядно показывает, что измерения в физике невозможны без введения соответствующих метрологических стандартов и процедур. В изложении Дюгема это выглядит таким образом:
‘Физический эксперимент есть точное наблюдение группы явлений, связанное с истолкованием этих явлений. Это истолкование заменяет конкретные данные, действительно полученные наблюдением, абстрактными и символическими описаниями, соответствующих этим данным на основании допущенных наблюдателем теории.’
В дальнейшем рассмотрении Дюгем более полно раскрывает сказанное. Я ограничусь рассмотрением важного понятия идеального инструмента:
‘Когда физик производит какой-нибудь опыт, ум его одновременно занимают два прекрасно различаемых представления об инструменте, с которым он работает: одно есть образ конкретного инструмента, с которым он действительно работает, другое — схематический тип того же инструмента, построенный с помощью символов, данных теориями. И именно к этому второму инструменту, идеальному и символическому, он применяет законы и формулы физики.’
Именно это обстоятельство приводит к введению поправок в проводимых измерениях:
‘Будь физический эксперимент простым констатированием факта, было бы абсурдом производить в нем поправки. … Напротив того, логическая роль поправок становится вполне понятной, если вспомнить, что физический эксперимент есть не только констатирование группы фактов, но и перевод этих фактов на символический язык при помощи правил, заимствованных из физической теории. Отсюда в действительности следует, что физик постоянно сравнивает между собой два инструмента: реальный инструмент, которым он работает, и инструмент идеальный и символический, о котором он рассуждает.’
Важно отметить, что Дюгем рассматривает погрешности измерения — сюда он включает ошибку считывания показаний на шкале, систематические ошибки, связанные с неучтенными обстоятельствами, и случайные ошибки. Последний раздел этой главы имеет выразительное название ‘Физический эксперимент менее достоверен, но более точен и детален, чем ненаучное констатирование факта‘. В нем Дюгем сравнивает результаты физического эксперимента с фактом обыденной жизни: ‘я на такой-то улице видел лошадь белой масти’. Отмечается, что зависимость эксперимента от теории делает его результаты несколько более хрупкими, но в то же время позволяет более четко выразить происходящее.
Введение Дюгемом теории физики в рассмотрение делает более четким рассмотрение Маха. Транзитивность теплового состояния плюс существование термического уравнения состояния является выражением простой, но вполне определенной теории физики. Такое утверждение в сочетании с понятиями объема и давления из геометрии и механики вполне достаточно для построения идеального инструмента при обсуждении опытов Реньо. В то же время это составляет основу при становлении практической температурной шкалы и является пререквизитом классической термодинамики.
У Маха и Дюгема отличаются рассмотрение теории физики. Мах рассматривает процесс введения практической температурной шкалы в рамках исторического процесса. Дюгем же рассматривает измерения Реньо с точки зрения уже существующей теории физики. Объединение этих позиций приводит к более взвешенной позиции. Историческое развитие приводит к становлению теории физики; при этом практическая возможность введения воспроизводимой метрологии на основе этой теории свидетельствует о ее устойчивости. В таком виде проблема координации представлена в книге ван Фраассена.
В заключение о погрешностях измерения — в рассмотрении ван Фраассена этом вопросу не уделено достаточное внимание. В настоящее время не стоит стараться провести аксиоматизацию математики в духе Гельмгольца; построение математики является делом математиков. В то же время наличие погрешностей измерения позволяет исключить из экспериментальной науки вопросы существования в математическом смысле (например, доказательство о существовании трансцендентных чисел).
С точки зрения экспериментальной науки математика становится полезным инструментом для описания мира в рамках теоретической физики. Высказывание Гельмгольца о иррациональных числах выше лучше всего рассматривать в рамках наличия погрешностей измерения. Математики вправе поместить на числовой оси какие угодно сущности (например, бесконечно малые в нестандартном анализе), но результаты экспериментального измерения ограничены рациональными числами. Более того, как правильно отмечает Дюгем, экспериментальному факту с неизбежным наличием погрешности измерения соответствует бесконечное количество теоретических предсказаний:
‘практическому факту соответствует не один только теоретический факт, а как бы целый пучок таких фактов, между собой различных. … Предел этот есть предел ошибки, которой сопровождается измерение этого элемента. Чем совершеннее методы измерения, чем большее приближение они допускают, тем теснее этот предел. Но он никогда не может исчезнуть совсем.’
Информация
H. Helmholtz, Zählen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet. 1887.
Перевод на русский в 1892 году. В 1893 году вышла книга: Г. Гельмгольц, Счёт и измерение. Книга также содержит вторую работу: Л. Кронекер, Понятие о числе.
Olivier Darrigol. Number and measure: Hermann von Helmholtz at the crossroads of mathematics, physics, and psychology. Studies in History and Philosophy of Science Part A 34, no. 3 (2003): 515-573.
Ernst Mach, Die Principien der Wärmelehre, 1900 (первое издание было в 1896 году).
Пьер Дюгем, Физическая теория, её цель и строение. СПб., 1910. (Репринт: М.: КомКнига, 2007). Первое издание на французском в 1906 году.
Описание заметок по теме проблема координации — см. раздел Проблема координации в Бас ван Фраассен.