В статье ‘Психологические основы арифметики‘ группа психологов отстаивает биологические основы математики. Само по себе это не удивительно; перефразируя известное — событием было бы если бы психологи начали защищать математический платонизм. Мое внимание привлекло обещание научной строгости:
‘Наши результаты показывают, что числа и алгебраическая структура возникают из чисто качественных условий и в виде конструкции арифметики дают строгое объяснение, почему сложение и умножение являются ее фундаментальными операциями.’
Поэтому я начал читать статью и обнаружил много удивительного в логике психологов. Начну с обещанного объяснения. Выяснилось, что психологи пообещали дать научное объяснение в рамках дедуктивно-номологической модели объяснения (объяснение по Гемпелю), что предполагает формулировку того, что требуется объяснить (экспланандум), и формулировку утверждений (эксплананс), которые будет использовать для объяснения экспланандума. Важно отметить, что эксплананс должен содержать законы.
В статье была дана правильная формулировка объяснения по Гемпелю, но далее экспланандум и эксплананс не были сформулированы в явном виде, а объяснение по Гемпелю упоминалось в контексте аксиоматики Пеано:
‘Если аксиомы рассматривать как предшествующие условия, то сложение и умножение можно рассматривать как выводы из этих условий, согласующиеся с моделью научного объяснения Гемпеля.’
Это неправильно, поскольку объяснение по Гемпелю связано с объяснениями в естественных науках при использовании законов этих наук. Аксиоматика в математике и математическое доказательство само по себе не попадают в рамки дедуктивно-номологического объяснения.
Насколько я понял, экспланандум в статье связан с тем, что в арифметике, используемой людьми, фундаментальными операциями являются сложение и умножение. В качестве эксплананса авторы выдвигают утверждение о врожденных четырех качественых характеристик, связанных с восприятием и когнитивными способностями — монотонность, выпуклость, непрерывность и изоморфизм. Теперь приведу главное утверждение авторов статьи:
‘мы приводим формальное доказательство того, что при заданном счетном бесконечном множестве X с отношением порядка ≼X и техническими допущениями, четырех качественных условий — монотонность, выпуклость, непрерывность и изоморфизм — достаточно для однозначной идентификации сложения и умножения над действительными числами ℝ. Таким образом, алгебраическая структура, на которой основана арифметика, может быть выведена из чисто качественных (т. е. неалгебраических) условий. Этот результат дает строгое объяснение того, почему сложение и умножение являются фундаментальными арифметическими операциями.’
Это утверждение не связано с объяснением по Гемпелю, поскольку не были сформулированы законы психологии или законы когнитивистики, которые можно было бы использовать для объяснения экспланандума из эксплананса. Другими словами, не видно связи между экспланандумом, экспланансом и проведенным математически доказательством.
В любом случае психологи каким-то образом перевели качественные когнитивные способности на язык теории множеств и провели математическое доказательство, которое в приложение занимает 10 стр. Честно скажу, что я не пытался его понять. Могу только сказать, что если утверждение авторов выше правильное, то это доказательство должно бы вызвать интерес математиков, поскольку речь идет об альтернативном построении арифметики. Жаль, что авторам не хватило смелости опубликовать это доказательство в соответствующем математическом журнале.
Самое интересно начинается после этого. Проведенное доказательство — согласно авторам статьи чисто математическое — используется для обоснования использования арифметики в когнитивных системах биологических организмов (nonhumans and humans, ниже буду переводить как не людей и людей). Насколько я понял, логика такая. Наблюдения и эксперименты показывают, что монотонность, выпуклость, непрерывность и изоморфизм являются частью когнитивных систем не людей и людей. В этом сыграло свою роль известно что:
‘Если естественный отбор породил организмы, которые могут вести себя так, как если бы они были способны выполнять алгебраические операции с внутренне представленными величинами или количествами, то эти операции — несимволические предшественники сложения и умножения — возможно, эволюционировали, чтобы быть оптимальными. Например, эти операции могут быть самым простым или наиболее эффективным способом объединения величин и, таким образом, поддаваться идентификации в соответствии с соответствующим критерием.’
На этой основе делается следующий шаг. Из математического доказательство делается вывод о существовании биологической арифметики, которая используется когнитивным аппаратом не людей и людей. В разделе ‘Что такое биологические вычисления‘ обсуждаются разные соображения, каким образом арифметические операции выполняются внутри организма. Исходной точкой служит идея Галлистела (см. ниже раздел ‘Поиск чисел в мозге‘) об использовании для этой цели полинуклеотидов. Она получила развитие в последующих статьях, где предполагается, что арифметические операции выполняются с использованием на РНК-носители. Хороший пример строгого научного объяснения у психологов.
После этого авторы переходят к арифметике у людей с использованием символов и обсуждается извечный вопрос культура vs. природа. Говорится о принципиальном отличии символьной арифметики людей от биологической арифметики (см. также ниже раздел ‘Естественный отбор и арифметические способности‘). Тем не менее, подчеркивается, что приведенное математическое доказательство играет роль в обоих случаях. В конце концов, в рассуждениях психологов всплывает Кант:
‘Мы приходим к выводу, что происхождение арифметики связано не с нашим восприятием мира, а с тем, как наш разум структурирует восприятие этого мира.’
‘Это кантианский взгляд, предполагающий, что арифметику нужно рассматривать не как незыблемую истину вселенной, а скорее как естественное следствие нашего восприятия. Алгебраическая структура может быть присуща репрезентация мира, сформированным нашей системой восприятия.’
‘Наше подход натурализует кантовскую интуицию и выявляет фундаментально психологические допущения(по всей видимости эволюционно обоснованными), которые составляют основу не только человеческого опыта, но также арифметики и основанной на ней высшей математики.’
Апелляции к эволюции позволяет перейти к выводу, в том числе про непостижимую эффективность математики Вигнера, который чем-то напоминает Гегеля:
‘Историческое развитие математики было вызвано необходимостью решать практические задачи и значительно расширило наши знания о мире благодаря ее применению в науке, но эта внешняя траектория сопровождается внутренней, в рамках которой математику можно рассматривать как результат работы разума, обучающегося выражать свою фундаментальную природу в символах.’
Гегель, правда, в явном виде в статье не упоминается, но в любом случае озвученные выводы демонстрируют выход далеко за пределы ‘строго научного объяснения’. Попытку психологов вырваться за рамки спекулятивной философии следует признать провалившейся. Неявная исходная философская позиция успешно переварила математическое доказательства, апелляции к строгим научным объяснениям и обзор наблюдений за поведением не людей и людей.
Информация
Grice, M., Kemp, S., Morton, N. J., & Grace, R. C. (2023, June 26). The Psychological Scaffolding of Arithmetic. Psychological Review. Advance online publication.
Обсуждение
https://evgeniirudnyi.livejournal.com/353367.html
05.04.2018 Естественный отбор и арифметические способности
Рафаэль Нуньес (соавтор книги Откуда взялась математика, вместе с Джорджом Лакоффом) опубликовал статью, в которой он отрицает происхождение арифметических способностей человека в рамках естественного отбора. В качестве альтернативы Нуньес отстаивает происхождение арифметических способностей в рамках культуры с использованием символьных систем. Взгляды Нуньеса хорошо отражает представленная в статье диаграмма, где животных и человека разделяет разрыв, связанный с использованием символических ссылок.
Большинство ученых склоняются к тому, что зачатки арифметических способностей можно найти уже у животных. Нуньенс объясняет это нечеткостью терминологии, переоценкой результатов экспериментов с животными и недооценкой данных по изучению не индустриализированных обществ. Нуньенс предлагает отделить способности, связанные с работой с абстрактными числами (на диаграмме Numerical), от способностей по распознаванию количества (на диаграмме Quantical, другой термин numerosity). С точки зрения Нуньенса более четкая терминология позволяет интерпретировать имеющиеся экспериментальные данные в пользу отсутствия врожденных арифметических способностей.
В этом же номере журнала есть письмо Andreas Nieder, который отстаивает более распространенную точку зрения о врожденной способности к операциях с числами, и также ответ Рафаэля Нуньеса. Таким образом, дискуссия продолжается.
Отмечу, что Симон Конвей Моррис занимает позицию, похожую на позицию Рафаэля Нуньеса. В своей статье Моррис после рассмотрения экспериментов с животными по изучению способности по распознаванию количества (numerosity) заключает, что математические способности присущи только человеку.
Rafael E. Núñez, Is there really an evolved capacity for number? Trends in cognitive sciences 21, no. 6 (2017): 409-424.
Simon Conway Morris. It all adds up…. Or does it? Numbers, mathematics and purpose. Studies in History and Philosophy of Science Part C: Studies in History and Philosophy of Biological and Biomedical Sciences 58 (2016): 117-122.
https://evgeniirudnyi.livejournal.com/180836.html
03.03.2018 Поиск чисел в мозге
В журнале Phil. Trans. R. Soc. B вышел номер, посвященной проблеме поиска происхождения численных способностей человека. Из любопытства я выбрал статью со звучным названием ‘Поиск чисел в мозге’. Статья вышла под рубрикой мнения, но ее автором является ученый с крайне хорошими показателями согласно Google Scholar: Чарлз Галлистел.
Автор статьи не сомневается, что в мозге животных можно обнаружить числа. Статья начинается с громкого утверждения:
‘Поведенческие и электрофизиологические данные в настоящее время убедительно установили существование чисел в мозге животных от насекомых до человека.’
Соответствующая структура мозга получила название нумерон (numeron) и статья посвящена рассуждениям о том, как таковая структура могла бы выглядеть и где ее следует искать.
Большая часть статьи посвящена описанию цифровой бинарной системе счисления, поскольку предполагается, что в мозге числа могут храниться только в таком виде. Переведу только одно утверждение о том, что ИТ специалистам следует учиться у природы:
‘Когда компьютерные специалисты установили архитектуры памяти с произвольным доступом, они заново изобрели колесо. Эволюция использовала этот принцип уже миллиарды лет до этого. ‘
После рассмотрения представления и операций с бинарными числами начинается самое интересное — поиск нумерона в мозге. Вначале рассматривается возможность хранения нумерона на системном уровне (нейронные цепи и пластические синапсы). Галлистел приходит к неутешительному выводу:
‘я не способен себе представить как можно было бы выполнить такую схему. Первый вопрос на который нужно было бы дать ответ: как можно хранить числа в пластических синапсах в вычислительно доступном виде? Уже на этом этапе мои умственные способности буксуют.’
Поэтому поиск ведется далее на уровне клетки. Ищется молекулярная структура, которая позволяет хранить цифровые бинарные числа. Что походит на эту роль? Правильно — полинуклеотиды. Именно они выдвигаются на роль хранения чисел в мозге. В заключение предполагается существование молекулярного механизма, которые может взять два полинуклеотида и далее даже выполнить определенную логическую операцию над этими нумеронами.
В общем:
‘Пришло время для серьезного поиска чисел в мозге.’
C. R. Gallistel, Finding numbers in the brain, Phil. Trans. R. Soc. B 2018 373 20170119
Также см. Phil. Trans. R. Soc. B, 2018, Volume 373, Issue 1740 ‘The origins of numerical abilities‘
https://evgeniirudnyi.livejournal.com/178535.html
25.06.2021 Число пи находится в неокортексе
Отрывок из обсуждения c psilogic:
А. «Спрашивая о существовании, есть смысл сразу уточнять — где. Например, формулы, законы, модели существуют в мозгах, на бумаге.»
Б. «Укажите, пожалуйста, в каком месте мозга находится число пи.»
А. «в неокортексе, левое полушарие»
Б. «А что, уже кто-то нашел там число пи?»
А. «официальная наука считает, что за математическое мышление отвечает эта зона мозга»
Б. «Приведите, пожалуйста, ссылочки на статьи, где доказывается, что число пи можно найти там, где вы написали.»
А. «это не уровень научных статей, это в школе проходят»